a) Arătați că $\displaystyle 0 \ast 2021 = 2021$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast (x + 1) \ast (x + 2) = \log_2 54$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(z_1) \cdot A(z_2) = A(z_1z_2)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle z_1$ și $\displaystyle z_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i) = nI_3$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = \log_2( (2^{x^2}-2)(2^{y^2}-2)+2)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție ,,*''.

c) Arătați că $\displaystyle x*x*x < 3x$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

a) Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \ast 0 = \sqrt{2}$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-\sqrt{2}) \ast (x+\sqrt{2}) = x$.

c) Determinați numerele raționale $\displaystyle a$ al căror simetric în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este număr rațional.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2 = 9$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care numărul $\displaystyle N=n\circ\frac{1}{n}$ este întreg.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 0 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$, $\displaystyle x$ nenul, pentru care $\displaystyle x \ast \frac{4}{x}=x$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 2$.

c) Determinați numărul întreg nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m * \left( 1 + \frac{1}{m} \right) = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*1=11$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*0=4$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x*\frac{1}{x} > 7$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, cu $\displaystyle m \le n$, pentru care $\displaystyle \frac{1}{m} * \frac{1}{n} = \frac{1}{16}(m * n)$.