a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 0 = 2$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale astfel încât $\displaystyle a \ast b \le b$, atunci $\displaystyle a \le 0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \ast (x^2+1) \ast (-2x) = 10$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \ast (-1)=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \ast y = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \leq 4$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 3 = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle e=2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (x+6) \ge 3$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 1 = 1$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \sqrt{1-x^2} = 1$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle 4 \ast 4 = 4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x \ast 1) \ast (x+1) = 4$.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle 2 \circ 2 = 2$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle x \circ y = 5$, atunci $\displaystyle x \circ 5 = 5$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle (mx^3) \circ (-mx^2) = m$, pentru orice $\displaystyle m \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \circ 0 = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ 1 \ge 5$, pentru orice $\displaystyle x \in A, x \neq 0$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere naturale impare, atunci $\displaystyle m \circ n$ este număr natural impar.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)) = 5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații asociat matricei $\displaystyle A(a)$ are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=3$, determinați soluțiile sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle \sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}=0$, sau $\displaystyle x_0=y_0=1$, sau $\displaystyle (x_0, y_0)=(1,0)$.

b) Calculați $\displaystyle x*3$ pentru $\displaystyle x=\sqrt[3]{4}$.

c) Determinați $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x*3=9$, unde legea de compoziție $\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}$ pentru $\displaystyle x, y \in G$, unde $\displaystyle G$ este o mulțime cu legea de compoziție $\displaystyle *$.