Pe mulțimea $\displaystyle M = [1, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = |x-y|+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 5 = 3$.

b) Calculați $\displaystyle a \circ b$, ştiind că $\displaystyle a = (2:3) \cdot 4$ și $\displaystyle b = 2:(3 \cdot 4)$.

c) Arătați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule pentru care $\displaystyle m \circ n = m$.

Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă şi cu element neutru $\displaystyle x \circ y = xy - 2x - 2y + 2$.

a) Arătaţi că numărul $\displaystyle 1$ este element neutru al legii de compoziţie "$\displaystyle \circ$".

b) Arătaţi că $\displaystyle x \circ x \ge \frac{2}{3}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = x$, unde $\displaystyle e$ este elementul neutru al legii de compoziţie "$\displaystyle \circ$".

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 5x - 5y + 30$.

a) Arătați că $\displaystyle 5 * 2021 = 5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m^2 * n = 16$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (0,\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \frac{x y + 1}{x+y}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 1 = 1$.

b) Calculați $\displaystyle ((1 \ast 2) \ast 3) - (1 \ast (2 \ast 3))$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x^2+xy+y^2$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*(-1)=3$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*n=48$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = (2x-1)(2y-1)+\frac{1}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (4x) \ast \frac{1}{4} = 25$.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{2} \ast \frac{1}{3} \ast \frac{1}{4} \ast \frac{1}{5}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{x y}{3} - x - y + 3$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 5 = 14$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3 * x = -52$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * (0 * (3n)) \ge \frac{2n}{3}$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - \frac{12}{x+y} + \frac{3}{x} + \frac{3}{y}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 3 = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ x = x^2$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (n \circ n) \circ n = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2= -21$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-1)*x=1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x^2*x \le 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=6xy-6x-6y+7$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 1*3=1$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle e=\frac{7}{6}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinaţi suma numerelor întregi $\displaystyle m$ care verifică inegalitatea $\displaystyle m * \frac{m}{2} \ge 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = (2x-1)(2y-1)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 3*4=18$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „*” este comutativă.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle (2m)*(2n)=13$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = xy+x+y+16$.

a) Arătați că $\displaystyle (-8) \circ 2 = 10$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care pentru care $\displaystyle x \circ \left( \frac{x}{2} \circ 3 \right) \circ x = 2x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{x+y}{2} - \frac{xy}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * 6 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 6 = 6$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m * (3m) \ge 2m-3$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y=3xy-x-y+\frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 2 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2x \ast x = 1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (\sqrt{x} \ast \sqrt{x}) \ast \sqrt{x^2+1}=1$.