a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-1) = -\frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \circ \frac{1}{\sqrt{2}} \circ \frac{1}{\sqrt{3}} \circ \dots \circ \frac{1}{\sqrt{2021}}$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \ast 3 = 9$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \ast y = \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x \ast 4^x = \frac{1}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle x*3=3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, astfel încât $\displaystyle x*x*x=-46$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{5^x}{7}+3$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x)*f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*(2 \circ 3) = 25$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*e=e$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle e$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \circ$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*(-n) \ge -n$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = \sqrt[3]{(x- \sqrt{3})(y-\sqrt{3}) + \sqrt{3}}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{3} \circ \frac{1}{3} \circ ... \circ \frac{1}{3}$ (de 2021 ori).

a) Arătați că $\displaystyle 2021 \ast (-2021) = -3$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x+27}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ast f(y) = f(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Verificați dacă $\displaystyle e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \left( \frac{1}{5} \right) \circ y = \frac{1}{5}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați partea întreagă a numărului $\displaystyle q = \left( -\frac{1}{2} \right) \circ \left( -\frac{1}{3} \right) \circ \dots \circ \left( -\frac{1}{2021} \right)$.

a) Arătați că numărul $\displaystyle a=2$ este întreg.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y \geq 4$, pentru orice $\displaystyle x, y \in A$.

c) Arătați că legea de compoziție „o” nu admite element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 0 = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle x \circ 1 > 4$ dacă şi numai dacă $\displaystyle x \in (3, +\infty)$.

c) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este asociativă dacă și numai dacă $\displaystyle a=\frac{1}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ 1 = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ astfel încât $\displaystyle 2a+2b+c \ne 0$. Știind că $\displaystyle c=a \circ b$, demonstrați că $\displaystyle a \circ c = c \circ b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (x+1) = 5x^2+2$.