Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \circ x = 24$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, cu $\displaystyle m > n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = 9$.

1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = xy-x-y+1$. Arătați că $\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1$.

2. Arătați că $\displaystyle 1*x=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+1)*15=15$.

4. Arătați că $\displaystyle (x*y)*z = x*(y*z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y, z$ și $\displaystyle t$.

5. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x \ge 0$.

6. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (2^{n^2}+2^{n^2})*(2^{n^2}+2^{n^2}) = 6$.

5p 2. Arătaţi că legea de compoziţie $\displaystyle x \circ y = x(y+1)-y$ este comutativă.

5p 3. Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (1-x)\circ x=8$.

5p 4. Determinaţi cel mai mic număr natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle 1\circ n \ge 2021$.

5p 5. Determinaţi numărul întreg $\displaystyle a$ pentru care numărul $\displaystyle A=a\circ\sqrt{2}$ este întreg.

5p 6. Se consideră numerele reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Arătaţi că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, numerele $\displaystyle x\circ m$, $\displaystyle y\circ m$ și $\displaystyle z\circ m$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

1. Arătați că $\displaystyle 1*2=2$.

2. Arătați că $\displaystyle x*y=2-3(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle e=\frac{5}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care numărul $\displaystyle N=5*n$ este natural.

5. Calculați $\displaystyle (-1)*0*(-8)*...*10$.

6. Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*\frac{1}{x}*(x^2+2)=5$.

Arătați că operația $\displaystyle \ast: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, definită prin $\displaystyle x \ast y = x^2 + y^2 - 2xy - 2$, * este comutativă.