3. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle a \ast 1 = (-1) \ast a.$

4. Arătați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{x} \ge 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x > 0.$

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (3x) = (4x-1) \ast 1.$

6. Arătați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle N = n \ast (n+1)$ este natural par.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y=(x-y)(y-x)+1$. Arătați că $\displaystyle (-1)*4=-24$.

Arătați că $\displaystyle x * y=(1-x)(1+y-x)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle x * x=(1-x)^{2}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * (-1)=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x} * 2^{x+1}=1-2^{2021}$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$, $\displaystyle x>0$, pentru care $\displaystyle \lg x * \lg \frac{x}{10}=\lg x \cdot \lg \frac{x}{100}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 5xy - 5x - 5y + 6$.

1. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 5 = 1$.

2. Arătați că $\displaystyle x \circ y = 5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle e = \frac{6}{5}$ este elementul neutru al legii „$\displaystyle \circ$”.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \frac{6}{5} \circ x = \frac{6}{5}$.

5. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle a \circ b = 21$.

6. Calculați $\displaystyle \frac{5}{1} \circ \frac{5}{2} \circ \frac{5}{3} \circ \frac{5}{4} \circ \frac{5}{5} \circ \frac{5}{6} \circ \frac{5}{7} \circ \frac{5}{8} \circ \frac{5}{9}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^3 - xy^2 - y^3 + y^2$. 1. Arătați că $\displaystyle 1 * (-2) = 9$.

Arătați că $\displaystyle x * y = (x+y)(x-y)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că legea de compoziție este comutativă.

Arătați că $\displaystyle x \circ (-x) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.