a) Arătați că $\displaystyle 3 * 4 = \sqrt{26}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * 0 = \sqrt{x^2 + 1}$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle (x * x) * x = 7$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 * 2 = 11$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * (-x) = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x * 4^x = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 * 0 = 1$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x * x) * x = 3 + \log_2 3$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \ast 1 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ast (-x) \le 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle x*(-x-2) = -2$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x^{\circ} \left( \frac{1}{2} \right) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că legea de compoziție $\displaystyle *, "\circ"$ nu admite element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \ast 4 = 5$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast \sqrt{5} = \sqrt{x+1}$.

c) Demonstrați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, pentru care numerele $\displaystyle m, n$ și $\displaystyle m \ast n$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

a) Arătați că $\displaystyle \hat{3} \circ \hat{3} = \hat{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \hat{0}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=\hat{4}x \circ \hat{x}$ este bijectivă.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Demonstrați că $\displaystyle (a*b)+(b*c) \ge a*c$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*4=4*2$.

b) Arătați că legea de compoziție „*” nu este comutativă.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (2*2)*n<64$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast \frac{1}{2} = \frac{11}{4}$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x \ast (-x)) \ast ((-x) \ast x) = 24x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{x} \ge 6$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.