Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=2xy-8x-8y+36$. Arătați că $\displaystyle 0*4=4$.

2. Demonstrați că $\displaystyle x*y=2(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Verificați dacă $\displaystyle e=9/2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-1)*(x+1)=10$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3^{x^2}*3^{x^2}=0$.

6. Dați exemplu de numere raționale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, care nu sunt întregi, pentru care numărul $\displaystyle p*q$ este întreg.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x^2 - xy + y^2$.

1. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2 = 3$.

2. Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

3. Dacă $\displaystyle a=(1 \circ 3) \circ 2$ şi $\displaystyle b=1 \circ (3 \circ 2)$, calculați $\displaystyle b-a$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 4$.

5. Demonstrați că, dacă $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle x \circ y = 0$, atunci $\displaystyle x=y=0$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ 2^x = 7$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = -xy + 4x + 4y - 12$. 1. Arătați că $\displaystyle 2 \circ 3 = 2$.

2. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.