a) Arătați că $\displaystyle 4*\sqrt{3} = 4$.

b) Determinați simetricul elementului $\displaystyle x=\sqrt{6}$, în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{4}* \dots *\sqrt{2020}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle 5*5=0$.

b) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n^2 * n < -4$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x^2 - 18$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 2=2$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x * (x-1)=-1$.

c) Dați exemplu de două numere iraționale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle a * b \in \mathbb{N}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * 2020 = 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m * n = 13$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 1 = 1$.

b) Determinați numărul $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast 2 = \frac{3}{2}$.

c) Calculați $\displaystyle \lg 2 \ast \lg 4 \ast \lg 6 \ast \lg 8 \ast \lg 10$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ \sqrt{2} = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = -(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3^x \circ 5^x = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 0 = 2021$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 2^x = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=2$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x \le 1$.

c) Calculați $\displaystyle (-1)*1* \dots *2020$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * (-2) = -2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 1/x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-2)=12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (-x)=3$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m \circ n = -mn$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020*(-3)=-3$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x*6)*6=6$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*\frac{1}{x} = -3$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 \ast 5 = 2022$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = 24$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 5^x \ast 5^{x+1}=11$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1)*2020=-3$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*(2x)=3$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*n=1$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 1 = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 90$ este elementul neutru al legii de compoziţie $\displaystyle \ast$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle (x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ şi $\displaystyle z$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x^2) \ast (2x+1) = -74$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 2020 = -6$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = -2$.

c) Știind că $\displaystyle m$ este număr real astfel încât $\displaystyle m \circ (-2) = 1 \circ (-m)$, calculați $\displaystyle m \circ (-m)$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 \circ (-4) = -4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+4)(y+4)-4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 0 = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+1)(y+1)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m * n = 2$.