Pe mulțimea $\displaystyle M=[0, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \sqrt{x^2+y^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle N=\sqrt{33}*\sqrt{31}$ este un număr natural.

b) Determinați numărul $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle (x*x)*x=300$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:[0, +\infty) \to [0, +\infty)$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{2020x}$. Arătați că $\displaystyle f(x+y)=f(x)*f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in [0, +\infty)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ x\le 5$.

c) Calculați $\displaystyle 1^0\circ 2^0\circ 3^0\circ \dots \circ 2020^0$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = 5(x+y-4)-xy$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = -(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x=x$.

c) Calculați $\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*...*2019*(-2020)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = x+y+7xy$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 7\left(x + \frac{1}{7}\right)\left(y + \frac{1}{7}\right) - \frac{1}{7}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 5$.

c) Dați exemplu de numere distincte $\displaystyle a,b \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ pentru care numărul $\displaystyle a \circ b$ este natural.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x*y=xy-101x-101y+10302$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale care sunt egale cu simetricul lor în raport cu legea „$\displaystyle *$”.

c) Determinați numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, cu $\displaystyle x<y$ și $\displaystyle 101$ este număr prim, obținem $\displaystyle x*y=202$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\ast y=x+y-1$ și $\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle 2\ast(1\circ 3)=(2\ast 1)\circ(2\ast 3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3^{x\ast x} = (\frac{1}{9})^{x\circ x}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle (x-1)\ast(y+1)=2$ și $\displaystyle (x+y)\ast 4=10$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle 0*1*(-1)=-1$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle m$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 5^x * 5^{-x+1}=-1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 3xy - 3\sqrt{2}(x+y) + 6 + \sqrt{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \circ 1 = \sqrt{2}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 3(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2}) + \sqrt{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{2} \circ \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}} \circ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \circ \dots \circ \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2017}}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = \sqrt[3]{x^3+y^3+8}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 \ast (-2020) = 2$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \ast$.

c) Știind că $\displaystyle (\mathbb{R}, \ast)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+8$ este morfism de la grupul $\displaystyle (\mathbb{R}, \ast)$ la grupul $\displaystyle (\mathbb{R}, +)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = xy+x+y$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \circ x = 8$.

c) Calculați partea întreagă a numărului $\displaystyle a=\left(1-\frac{1}{11}\right) \circ \left(1-\frac{2}{11}\right) \circ \left(1-\frac{3}{11}\right) \circ \dots \circ \left(1-\frac{10}{11}\right)$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0,1)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y = \frac{xy}{1-x-y+2xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ \frac{1}{2} = x$, pentru orice $\displaystyle x\in M$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to(0,1)$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}$. Arătați că $\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(xy)$, pentru orice $\displaystyle x,y\in(0,\infty)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 3xy - 2x - 2y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle 5 * 8 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2020^x * 2020^x = 2$.

c) Demonstrați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m*n=0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{3}xy+x+y$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-3$. Arătați că $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1 \circ x_2 \circ \dots \circ x_n = \frac{1}{3^{n-1}}(x_1+3)(x_2+3)\dots(x_n+3)-3$, pentru orice $\displaystyle n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle n \ge 2$ și orice numere reale $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy-5x-5y+30$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \circ$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \circ x \circ x = x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^2 + xy + y^2$.

a) Arătați că $\displaystyle x * 0 \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ cu $\displaystyle a \ne b$. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * a = x * b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ cu proprietatea că $\displaystyle x * (x+1) = -x^2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x+y-7$.

a) Arătați că $\displaystyle 5*2=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*(x+1)=x^2-7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle a^2*b^2 \ne 0$, pentru orice numere întregi $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = \sqrt{x^2+y^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle 0*8=8$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” nu are element neutru.

c) Demonstrați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule pentru care numărul $\displaystyle m*n$ este natural nenul.

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=5xy+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*4=25$.

b) Demonstrați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2xy - x - y + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, astfel încât $\displaystyle a \ast a = a$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.