Arătați că $\displaystyle 2*7 = 2*7-9$.

Arătați că legea de compoziție $\displaystyle *,* : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle x*(y+z)=x*(y+z)-9$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

Demonstrați că $\displaystyle x*(x+9)=(x+5)*(x+4)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = x+y+xy$.

Arătați că legea de compoziție , * " este asociativă.

Verificați dacă $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție ", * ".

Arătați că $\displaystyle x*x = (x+1)^2 - 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$, și $\displaystyle y$, și $\displaystyle z$, pentru care $\displaystyle (x*y)*z = x*(y*z)$.

Demonstrați că $\displaystyle x*(x+1) \ge x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 6^x \cdot 6^y$. Arătați că $\displaystyle (-2020) \ast 2020 = 1$.

2. Demonstrați că legea de compoziție $\displaystyle \ast$ este comutativă.

3. Verificați dacă $\displaystyle x \ast (-x)=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 36$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-6) \ast (6-x) = 6^x$.

6. Dați exemplu de numere iraționale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care numărul $\displaystyle p \ast q$ este rațional.

Pe mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = x+y+3x+3y+6$.

Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle x*(-3) = x-3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Verificați dacă $\displaystyle e = -2$ este elementul neutru al legii de compoziție ,,*''.

Calculați $\displaystyle (-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3$.