Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 9^x * 3^x = -3$.

Demonstrați că $\displaystyle x^2 * \frac{1}{x^2} \ge -13$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x+y+50$. 1. Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 1 = 50$.

2. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este asociativă.

3. Verificați dacă $\displaystyle e = -50$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

4. Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 92$.

5. Demonstrați că $\displaystyle (x-y-50) \circ (x-y-50) = (x-y)(x-y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle ((m^2-n-50) \circ (m-n))-(m-n)=57$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - (x+y) + 1$. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2020 = 0$.

Arătați că legea de compoziție $\displaystyle \circ$ este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-1)(y-1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-1) \circ x = 0$.

Arătați că $\displaystyle x^2 \circ x^2 = (x^2-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere naturale, știind că $\displaystyle a \circ b = 3$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 1. Arătați că $\displaystyle 4 \ast 2020 = 4$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 2. Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 3. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \leq 5$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 4. Arătați că $\displaystyle x \ast 4 = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 5. Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = x$.