6. Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m \circ n = 5$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = x+y-1$. Arătați că $\displaystyle 1 * (-1) = -1$.

Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Verificați dacă $\displaystyle e=2$ este element neutru al legii de compoziție „*”.

Verificați dacă $\displaystyle \frac{4}{3}$ este simetricul lui $\displaystyle 4$ în raport cu legea de compoziție „*”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x+y-3$. 1. Calculați $\displaystyle 1*(-1)$.

2. Verificați dacă legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este comutativă.

3. Arătați că legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este asociativă.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-1)*(x+1) \le 1$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 4^x*2^{x+1} = 5$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle (x-1)*(y+2)=3$ și $\displaystyle (2x)*(y-2)=2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x+y-2020$.

1. Arătați că $\displaystyle 2000 * 20 = 0$.

2. Arătați că legea de compoziție „*” este asociativă.

3. Demonstrați că $\displaystyle a * (a+2020) = (a+1010) * (a+1010)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle 4^x * 2^x = -2014$.

5. Determinați cel mai mare număr natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * n \le n$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y - 15$. Arătați că $\displaystyle (-2) * 17 = 0$.

Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

Arătați că $\displaystyle (1 * 2) * (8 * 9) = (1 * 9) * (2 * 8)$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = x$.