Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 5(x+y) + 30$. Arătați că $\displaystyle 0 * 5 = 5$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Verificați dacă $\displaystyle e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” .

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle (x-1) * (x+1) = 8$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 5^x * 5^x = 5$.

6. Dați exemplu de numere raționale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, care nu sunt întregi, pentru care numărul $\displaystyle p*q$ este întreg.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy + 3x + 3y + 6$. Arătați că $\displaystyle 3 \circ (-1) = 9$.

Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = xy - 3(x+y) + 12$.

1. Arătați că $\displaystyle 2020 \circ 4 = 2020$.

2. Demonstrați că $\displaystyle 3 \circ x = 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

5. Arătați că $\displaystyle x \circ y \ge 3$, pentru orice $\displaystyle x \ge 3$ și $\displaystyle y \ge 3$.

6. Calculați $\displaystyle \sqrt{1} \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \dots \circ \sqrt{2020}$.

1. Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 3 = 3$.

2. Arătați că $\displaystyle x \circ y = 2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Verificați dacă $\displaystyle e = \frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

4. Determinați mulțimea numerelor întregi $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (a-3) \circ (a-3) < 3$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x \circ 7$.