Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy - 3x - 3y + a$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (-1) \ast 1 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” admite element neutru.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in [12, +\infty)$, atunci mulțimea $\displaystyle [3, +\infty)$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x * y = xy + 5x + 5y + 20$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 2 * (-1)=-23$.

b) Demonstrați că $\displaystyle e=-4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Pentru $\displaystyle r \in \{0,1,2\}$, notăm cu $\displaystyle A(r)$ mulţimea numerelor naturale care au restul $\displaystyle r$ la împărţirea cu $\displaystyle 3$. Determinaţi numerele $\displaystyle r \in \{0,1,2\}$ pentru care $\displaystyle A(r)$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{Z}$ în raport cu legea de compoziţie „$\displaystyle *$”.

Pe mulțimea numerelor raționale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^2 y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 6$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 1 = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle x * y \ne 2$, pentru orice numere raționale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m * n = 3$.

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $\displaystyle z_1 \circ z_2 = z_1z_2 - \frac{1}{2}z_1 - \frac{1}{2}z_2 + \frac{1}{2}$, unde $\displaystyle \overline{z}$ este conjugatul lui $\displaystyle z$.

a) Arătați că $\displaystyle (1+i)\circ (1-i)=1$.

b) Se consideră $\displaystyle H = \{2+bi \mid b \in \mathbb{R}\}$. Arătați că $\displaystyle H$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{C}$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle \circ$.

c) Se consideră numărul complex $\displaystyle z_0$. Arătați că există o infinitate de numere complexe $\displaystyle z$ cu proprietatea că numărul $\displaystyle z_0 \circ z$ este real.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}-1$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast (-2) = 0$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \text{'}\ast\text{'}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2e^x}$. Arătați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x)+f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.