a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 4(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle x * x * x = 4^2(x-1)^3+1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle 6 \ast 2 = 5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (4x) = 16$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \ast 2 \ast 3 \ast \dots \ast 2019$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)\left(y - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 14$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \left(2^n * \frac{3}{2}\right) * \left(2^{n+1} * \frac{3}{2}\right) * \left(2^{n+2} * \frac{3}{2}\right) = 2^{20} + \frac{3}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \sqrt{3}=\sqrt{3}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{5} \circ \sqrt{6} \circ \sqrt{7} \circ ... \circ \sqrt{100}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = \frac{3}{5}(x-\frac{5}{3})(y-\frac{5}{3}) + \frac{5}{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle \frac{5}{3} * \frac{5}{3} * \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \dots * \frac{2020}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*3*\sqrt[5]{5} = 5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle 2^x * 3^x * (243x^x)^5 = 100000$.

c) Se consideră numerele $\displaystyle M = 1 * \sqrt[5]{2} * \sqrt[5]{3} * \dots * \sqrt[5]{10}$ și $\displaystyle N=5^5 \cdot 11^5$. Demonstrați că $\displaystyle M-N=0$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \ast 0 = 3$.

b) Se consideră $\displaystyle f:M \to (0, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \frac{10-x}{10+x}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x) f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = 0$. (trei de $\displaystyle x$)

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}$, pentru orice $\displaystyle x, y \in G$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Știind că $\displaystyle (G, \ast)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f:G \to M, f(x)=\sqrt{x+1}$ este un izomorfism de la grupul $\displaystyle (M, \cdot)$ la grupul $\displaystyle (G, \ast)$, unde $\displaystyle M=(0, +\infty)$ și „$\displaystyle \cdot$” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

a) Arătați că $\displaystyle x * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Știind că $\displaystyle (G,*)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f: G \to M$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1$ este un izomorfism de la grupul $\displaystyle (G,*)$ la grupul $\displaystyle (M,\cdot)$, unde $\displaystyle M=(0,\infty)$ și „$\displaystyle \cdot$” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

a) Arătaţi că $\displaystyle 1 \circ 3 = 3$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = \frac{26}{9}$.

c) Determinaţi numerele naturale $\displaystyle n$ ale căror simetrice în raport cu legea de compoziţie $\displaystyle „\circ”$ sunt numere naturale.

a) Arătați că $\displaystyle 2 ° 2 = 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x ° y = z ° x = y$, pentru orice $\displaystyle x, y, z ∈ M$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{2} \u00B0 \frac{1}{3} \u00B0 \frac{1}{4} \u00B0 ... \u00B0 \frac{1}{10} = \frac{10 − 11}{54} = 54^{-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*64=4$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați $\displaystyle x\in G$ care sunt egale cu simetricele lor în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

a) Arătați că $\displaystyle x * 1 = 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 9$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle x * y = 3$, atunci $\displaystyle (x-1)(y-1)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle x*(-x) = \sqrt[3]{2020}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+1)*(-x) = \sqrt[3]{2021}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x*x=a$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast 1 = x$, pentru orice $\displaystyle x \in G$.

b) Determinați $\displaystyle e \in G$, știind că $\displaystyle e$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in G$ pentru care $\displaystyle x \ast \frac{1}{x} = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle (1+i) \circ (2-i) = 6+i$.

b) Demonstrați că numărul $\displaystyle z \circ \overline{z}$ este număr real, pentru orice număr complex $\displaystyle z$.

c) Determinați numerele complexe $\displaystyle z$ pentru care $\displaystyle z \circ z = -2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=13$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x*x)*x^2=61$.

c) Demonstrați că există o infinitate de numere iraționale $\displaystyle a$ pentru care numărul $\displaystyle a*1$ este natural.