Pe mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = x+y+xy$. Arătați că $\displaystyle (-1)*3 = -1$.

Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Verificați dacă $\displaystyle e=0$ este element neutru al legii de compoziție $\displaystyle *,*$.

Verificați dacă $\displaystyle -\frac{1}{2}$ este simetricul lui $\displaystyle 1$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *,*$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}$. Arătați că $\displaystyle 3*9=9$.

Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

Verificați dacă $\displaystyle e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

Determinați $\displaystyle a\in M$ pentru care $\displaystyle x*a=a$, pentru orice $\displaystyle x\in M$.

Determinați $\displaystyle x\in M$ pentru care $\displaystyle x*x*x=x$.

Calculați $\displaystyle \frac{1}{5}*\frac{2}{5}*\frac{3}{5}*\frac{4}{5}*\frac{5}{5}$.

Se consideră mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}[\sqrt{3}]=\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z}\}$. Verificați dacă $\displaystyle 1\in\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.

Demonstrați că $\displaystyle x+y\in\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$, pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.

Demonstrați că $\displaystyle xy\in\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$, pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$.

Pentru $\displaystyle x=2+\sqrt{3}$, determinați $\displaystyle x'\in\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ astfel încât $\displaystyle xx'=1$.

Dați exemplu de un număr $\displaystyle x\in\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$, astfel încât $\displaystyle 0<x<\frac{3}{10}$.

Se consideră mulțimea $\displaystyle H=\{m+n\sqrt{3}\mid m,n\in\mathbb{Z},\ m^2-3n^2=1\}$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in H$, atunci $\displaystyle \frac{1}{a}\in H$.