Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_7$, se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy+6x+6y+6$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+6)(y+6)+1$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{Z}_7$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * \hat{1} = \hat{1} * x = \hat{1}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{Z}_7$.

c) Calculați $\displaystyle \hat{0} * \hat{1} * \hat{2} * \hat{3} * \hat{4} * \hat{5} * \hat{6}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-2)(y-2) + 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

c) Calculați $\displaystyle \log_2 2 * \log_2 3 * \log_2 4 * \dots * \log_2 2018$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, $\displaystyle x * y = \frac{1}{2} xy - \frac{3}{2} (x+y) + \frac{9}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = \frac{1}{2}(x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = x$.

c) Demonstrați că nu există niciun număr natural $\displaystyle n$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „*” să fie număr natural.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $\displaystyle x \ast y = 5xy - 5x - 5y + 6$.

a) Demonstraţi că $\displaystyle x \ast y = 5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinaţi valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = x$.

c) Determinaţi numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{n^2} \ast \frac{1}{(n+1)^2} \ast \frac{1}{(n+2)^2} \ast \dots \ast \frac{1}{(n+2019)^2} = -19$.

Pe mulțimea $\displaystyle G = (-2,2)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{4x+4y}{4+xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

b) Determinați $\displaystyle x \in G$, pentru care $\displaystyle x * x = \frac{8}{5}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to G$, $\displaystyle f(x) = \frac{2(x-1)}{x+1}$. Demonstrați că $\displaystyle f(xy) = f(x) * f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = (x-2019)(y-2019)+2019$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast 2019 = 2019$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle x \ast x = x$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m \ast n = 2020$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este asociativă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = x$.