Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}}dx = \frac{3}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f^2(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^a f(x)dx \le \int_0^a f(x)dx$, pentru orice $\displaystyle a \in [2020, + \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-\frac{2}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{2}{3} \ln \frac{3}{2} \le \int_1^2 \frac{f(x)}{x^3} dx \le \frac{5}{18}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^{2020}-2020x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2020x-1)dx = \frac{1}{2021}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [1, \infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(-x) - f(x) )dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^3-x^2+2x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^3-2x-2)dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2} e^x(f(x)-x^3-x^2-1)dx = -2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+3x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-3x)dx=0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-x^3)e^x dx=3$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, primitiva funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$. Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{F^2(x)}dx=\frac{25}{37}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^4+e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-x^4)dx=\frac{e^2-1}{e}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(x)-e^x}{x}dx=\frac{e^2-1}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{5a^2+54}{10}+e^a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) e^x dx$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a (f(x)-f(-x)) dx = \ln(2a)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1(f(x)-x^2-x-1)dx=0$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2+1}e^x dx=(ae^2)^2-e$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-4$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 (f(x)+4) dx = 9$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)+5} dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>0$, pentru care $\displaystyle \int_a^{a+1} \frac{1}{x^2} dx = -8$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5x+\frac{1}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx = 4$.

b) Demonstraţi că funcţia $\displaystyle F:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{5x^2+2020}{2}+\ln x$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$.

c) Calculaţi $\displaystyle \int_1^e f(x)(5x-\ln x)dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-2)dx = \frac{1}{4}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=7$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^x(f(x)-x^3+x^2)dx = 3e-4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^3+4x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x^2)dx = 24$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=2020$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m>1$, știind că $\displaystyle \int_1^m \frac{f(x)}{x^2}dx = \frac{17}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{2\sqrt{x}}{x^2} + 2020$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (f(x) + \frac{2\sqrt{x}}{x^2})dx = 21$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{12} + \frac{4}{3\sqrt{x}} + 2020x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) + \frac{2\sqrt{x}}{x^2})e^x dx = e(2e-1)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+4)f(x)dx = -\frac{11}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0]$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_1^n x^n f(x)dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = -\infty$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{9}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=4$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{2}{x^2+9}$ axa Ox și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=9$ are aria egală cu $\displaystyle 2\ln 3$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}} f(x)\operatorname{arctg} x dx = \frac{5\pi}{12} + \frac{3\sqrt{3}-a}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^3 + x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x^3 - 1) dx = 0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^{2020} (f(x) - x - 1) dx$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g : [1, 2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, este egal cu $\displaystyle \pi \left( 2 \ln 2 + \frac{3}{2} \right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f^2(x) dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x^2+1} dx = \frac{1}{3}\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f(x^n) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+2)f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+\frac{1}{x^2+2}\right)dx=\ln\frac{5}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(\ln x)}{x}dx=\frac{e^2+5}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+\frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)}\right)dx = \ln\frac{5}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 - \frac{2x}{x^2+3} + \frac{2}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+3)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 1 - \ln \frac{4}{3} - \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f^n(x)dx$. Arătați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.