Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = 2-3e^{-2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x+1)^2 e^x dx$.

c) Se consideră numerele reale pozitive $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{e^{-x}f(x)}{x+1} dx$, $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{f(x)}{x+1} dx$ și $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{e^x f(x)}{x+1} dx$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci $\displaystyle a,b,c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră funcția $\displaystyle f_n:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f_n(x)=\frac{x^n}{x+1}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(x^3+1)f_1(x)$, știind că $\displaystyle G(0)=2020$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f_1(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f_n(x)dx \le \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x-\frac{2x+1}{x^2+1}+x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x) dx = 3$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \left( f(x)+\frac{2x-1}{x^2+1} \right) \ln x dx = e^2+a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x+\ln(2x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-\ln(2x+1)) dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, arătați că $\displaystyle F(x) \le F\left(\frac{16}{5}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^4 \left(f(x)-\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\right)dx = \frac{64}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^4 (f(x)-f(-x))dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>4$, astfel încât $\displaystyle \int_4^a \frac{f(x)}{x}dx=10+\ln\frac{a+\sqrt{a^2+9}}{9}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2-1}{x}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,\infty) \to \mathbb{R}, F(x) = \frac{x^2+1}{x} - \ln x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x) + \frac{1}{x})dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>1$, astfel încât $\displaystyle \int_{1}^{a} f(x)dx = \frac{1}{2} - \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+e^x) dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 xf(x) dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n (f(x)+e^x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_n + nI_{n-1} = e$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x)\sqrt{x^2+1}dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right)dx = \sqrt{5}-\sqrt{2}+\ln \frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (1, +\infty)$ astfel încât $\displaystyle \int_0^x f'(t)e^{t^2}dt = \ln(\sqrt{x^2+1}e^{2x}) + \ln(a-1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = e^x(ax^2+4x+5)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{F(x)}{e^x} dx = \frac{10}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ astfel încât funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=e^x(ax^2+bx+c)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x \cos x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{f(x)}{e^x}dx = 1$.

b) Calculati $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)dx = -e^{\frac{\pi}{2}} + \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+2)\sin x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{x+2} dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$, pentru care $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{f^2(x)} dx = \frac{1}{n^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2) dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) e^{x^3+3x} dx$.

c) Arătați că $\displaystyle 15 \int_0^1 f^7(x) dx - 14 \int_0^1 f^6(x) dx = 128$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x-1, x \in (-\infty,0] \\ \frac{3x-1}{x+1}, x \in (0,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 e^x f(x) dx = \frac{5-3e}{e}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sin x$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [0, \pi]$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 2f(x)f'(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi} xf(x)dx = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x(x^2+1)-2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^3+x+2)dx=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-x^3+2)e^x dx$.

c) Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx=m^2+1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x f(x) - x^2) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{1}{f(x)} dx$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi^2}{3} + \frac{\pi}{4} - 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+x+2, & x \in(-\infty, 0) \\ e^{x}+1, & x \in[0,+\infty)\end{array}\right.$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x=e$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) d x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-4,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+2}{x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+4)f(x)\,dx = 6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-2}^{0} f(x)\,dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-3}^{a} f'(x) \cdot f''(x)\,dx = 2\left(\frac{1}{(a+4)^{4}}-1\right)$, pentru orice $\displaystyle a \in (-3,+\infty)$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x}$ și $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = e^x \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x f(x) dx = e(e-1)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_e^{e^2} \frac{g(x)}{xe^x} dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)+g(x)) dx = e^e$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle F: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ și $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 - \frac{1}{(x+1)^2}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{F(x)} dx = \ln \frac{8}{3}$.