Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 3x + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{6}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \ln x dx = e^2 - 7$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} f(x) e^x dx = e^a - 3e$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\left(1+e^x\right)f(x)$, pentru care $\displaystyle G(0)=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\cos x\,dx=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e xf(x)dx=\frac{e^2-e}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x^3 f(x^2)dx=\frac{e(e-1)(e^2+e+1)}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e f(x)dx+\int_1^e e^x \ln xdx=e^e$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+3x+5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+3x+5)f^2(x) dx = \frac{11}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-4}^{-1} x f(x^2+3x+5) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos x f(\sin x) dx = 6-2\sqrt{5}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-1)dx = \ln(1+\sqrt{2})$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} xf(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x} = 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x) dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(-x) dx$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = e^{-x}(-x^2+ax+b)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3\left(f(x)-\ln x\right)dx=\frac{26}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2\left(f(x)-x^2\right)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)dx=\frac{3-4\ln^2 2}{8}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^4+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^4+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx \le \frac{\pi}{8}$.

c) Se consideră primitiva $\displaystyle F$ a lui $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$. Calculați $\displaystyle \int_0^1 F(x)dx$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x+2)}{x^2+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx = \frac{\pi}{4}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+\frac{\operatorname{arctg} x}{x+2}\right)dx = \frac{\ln 3}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} x^n f(x) dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Arătați că $\displaystyle (n+2)I_n + 2(n-1)I_{n-2} = 3\sqrt{3}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+2)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+2)e^{-x} dx = 27$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(\ln x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x f(t)dt = 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx = \frac{\pi}{8}$.

b) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, considerăm numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n f(x)dx$. Arătați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a>0$, pentru care $\displaystyle \int_0^a x f(x)dx = \frac{1}{4} \ln 5$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}$ și $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^3}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_e^{e^2} x^2 F(x)dx = \frac{3}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx=18$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{f(x)}{x}dx=\frac{3\ln 2}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{e^x} f(x) dx = \frac{1}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de inflexiune.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, + \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f'(x) dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{x^2} dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle p, p > 1$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{p} xf(x) dx = \frac{p^2}{2} \ln p - \frac{1}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+4}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 xf(x)dx=4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_2^6 \frac{2}{f(x)} dx$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_1^e f(x) \cdot \frac{\ln x}{x^2+4} dx = \frac{a}{4}$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+1$ și $\displaystyle g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{2x}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^4 g(x)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^m f(x)\cdot g(x)dx=20$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}e^x+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real, și $\displaystyle F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\ln x \cdot e^x+4x+1$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ astfel încât funcția $\displaystyle F$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Pentru $\displaystyle m=4$, calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

c) Pentru $\displaystyle m=0$, calculați $\displaystyle \int_1^2 xf(x)dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x+4}{x^2+4x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)(x+3)f(x)dx = 5$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F : (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă.