Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{3x^2+6x+7}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f^2(x)-6x-7)dx=11$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{x+1}{f^2(x)}dx$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$, suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=a$ are aria mai mare sau egală cu $\displaystyle a\sqrt{7}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^2+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 (x^2+9)f(x)dx = 3$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de inflexiune.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^{2n}f(x)dx$. Arătați că $\displaystyle 0 \leq \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+4}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) dx = 0$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x t f(t) dt$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{3}{e^2}-\frac{6}{e}$.

b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 2$, știind că $\displaystyle \int_1^a \frac{2}{x^3 f(x)} dx = 3 \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x) = (x-2)e^x + 2019$ o primitivă a funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{e}.$

b) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-2)e^x + 2019$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f.$

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 F^2(x)f(x)dx.$

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x) \, dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x) \, dx = \ln \frac{9}{8}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle p$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \ln (p^2 + \frac{1}{3})$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x \ln^2 x}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=-\frac{1}{\ln x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_e^{e^2} f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>e$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x \ln x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=e$ și $\displaystyle x=a$ are aria egală cu $\displaystyle 2a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x^3}$, axa $\displaystyle Ox$, dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a^2$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 5$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+8x-2}{x-2}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$, $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ și $\displaystyle f(0)=2$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$, $\displaystyle f$

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x\ln(x+1)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\ln(x+1)} dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{4}$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x)dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+4x+5)e^x$.

a) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2e^x-5e^x) dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-3}^{-1} \frac{e^x}{x^2} dx \le \frac{e^{-2}-1}{-3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=6x^2+4x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=5$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{x}dx=13+\ln a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{f(x)}dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

c) Arătați că există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{t^2}dt = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2-\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 e^x(f(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_n+2nI_{n-1}=3^n e-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-5,5) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{25-x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 x f^2(x)dx = \frac{74}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-3}^3 x f(x)dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{1}{f^n(x)}dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este monoton.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf^2(x)dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 |x f(x)|dx$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x t \cdot f(t)dt}{x^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln x + \frac{1}{\ln x}$.

a) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{e}^{e^2} (f(x)-\frac{1}{\ln x})dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>e$, știind că $\displaystyle \int_{e}^{a} \ln x dx = 2a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x)dx = 2\ln 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - \frac{2}{x+1}) \ln x dx$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 2F(x)f(x)dx = \frac{1}{4} + \ln 4 + \ln^2 a$, unde $\displaystyle F(0)=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\cos x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (f(x))^n \, dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2e^x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 f(x)e^{-x}dx = \frac{8}{3}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x^2}f(\ln x)dx$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx=2(e-3)^2$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.