a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+3)f(x)dx=4$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2-3\ln \frac{4}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 e^x (x+3)^n f^n(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_n+2nI_{n-1}=e-5^n \cdot 3^n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+1)f(x)\text{d}x = 4$.

b) Calculati $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x+1}\text{d}x$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x}{x^2+1}$ este egal cu $\displaystyle \frac{\pi}{n}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(x) \ln x dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - \ln x) dx = 11$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x} dx = \frac{3e^2+4e-4}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a$ are aria egală cu $\displaystyle a^3+a^2+a-2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{e^x}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Fie $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Arătați că $\displaystyle F''(x) = -\frac{1}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx$.

Notă: Subpunctul a) din subiectul dat are o eroare. Derivata funcției $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ este $\displaystyle f'(x) = -e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$. Deci enunțul este corect, am citit greșit inițial. Subpunctul b) cere să se arate că $\displaystyle F''(x) = -\frac{1}{e^x}$, unde $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$. Aceasta ar însemna $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{e^x}$. Dar $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x}$. Deci $\displaystyle f'(x) = -f(x)$. Dacă $\displaystyle F$ este primitivă a lui $\displaystyle f$, atunci $\displaystyle F'=f$. Dacă $\displaystyle F'' = -f$, aceasta este corectă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f(x)dx=9$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{1}{2} + 2\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^4 f^n(x)dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le 4I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

b) Fie $\displaystyle F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a lui $\displaystyle f(x) = x e^x$. Demonstrați că $\displaystyle F'(x) = x e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Aflați aria A=\int_0^n x e^x dx= n e^n - e^n + 1.

a) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx = 2$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx = \frac{n^2-4}{2} + ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{11}{6}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are exact două puncte de inflexiune.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x)dx = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 1}}e^x$ este egal cu $\displaystyle \pi$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\int_3^x \frac{f(t)}{t} dt}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-12x-5) dx = 0$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{f(x)-12x-5}{x-2} dx = \frac{\pi}{8}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(\operatorname{tg}x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n+2}\le\int_0^1 (x^n f(x))dx\le\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2(n+2)}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^e f(x) dx=2(4-\sqrt{e})$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_1^{e^{n+1}} f(x) dx = \frac{7}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{2f(x)}{e^x} dx = e^2-1$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 f(x)f'(x)dx = \frac{e^a}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 e^x f(x) dx = 2$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle 2-\frac{2}{e}$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^n x^n f(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n+2)I_n = \frac{1}{e}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=12$.

b) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

c) Demonstraţi că există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{f(t)}dt = x$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 0$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este egal cu $\displaystyle \frac{97\pi}{10}$.

c) Determinați numărul $\displaystyle m \in (1, \infty)$, știind că $\displaystyle \int_1^m (f(x)-x^2)dx = \frac{1}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{x}dx=\frac{e^2}{3}$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=2x-x^2+f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ are aria egală cu $\displaystyle e^2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \int_{e^{-1}}^{1} x^n(f(x)-x^2\ln x)dx=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)e^x - 3) dx = 6$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe intervalul $\displaystyle [-3, +\infty)$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=n$ are aria egală cu $\displaystyle 4-6e^{-n}$.