Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 (x^2+3x+3)f(x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f(x)dx = \ln 7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^0 f'(x)f(x)dx = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x)dx = \frac{2}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x (x^2-f(x))dx$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{2}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + 3x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^2)dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx = \frac{7}{4}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-e^x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=n$ are aria egală cu $\displaystyle n^2-n+1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)f(x)dx = \frac{4}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, știind că $\displaystyle F(1) = \frac{\pi}{4}+1$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_0^n x f(x^2)dx = \ln 5$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \textrm{R} \rightarrow \textrm{R}$, $\displaystyle f(x)=4x^3-x$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (4x^3-f(x))e^x dx = 1$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graful funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=3$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră integrală $\displaystyle I_n = \int_{1}^{e} x^n \ln x \, dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} x \ln x \, dx = \frac{e^2+1}{4}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^{n+2}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2 + 2x - 4$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - 2x + 4) dx = 7$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 2017$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{x^2} dx = a^3 - 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \int_{-2}^x (t+2)^n dt$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-2}^0 (x+2)^n dx = \frac{2^{n+1}}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

b) Pentru $\displaystyle n=1$, arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)e^x dx = 2e-1$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{242}{n+1}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2}{2x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 2xf(x)dx = \frac{13}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care $\displaystyle F(1)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2 \int_1^n (f(x)+xf'(x))dx = n^2-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+5x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-5x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle \frac{127\pi}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{e^x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x+1) f(x) dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 x(f(x)+f(-x))dx = 0$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria mai mică decât $\displaystyle \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x+1}{\sqrt{x}}f(x)dx = \ln \frac{3}{2}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m > 0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \sqrt{x}(x+1)f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle 1-\ln \frac{m+1}{m}$.

Se considera funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2}+2x$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = e^x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^a f(x)dx = 1 + \frac{2a^3}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2+x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle n^2-\frac{7}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=x(2\ln x+1)$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1+2e \int_1^e f(x)/x^2 dx = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x, x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)e^{-x} dx = -\frac{1}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^3 f(x)dx \le 20$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$ și $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x \ln x$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x)-\ln x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)F(x)dx = \frac{e^2}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(\sqrt{x})}{e^{-x}} dx = \frac{e-1}{e}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_n^{n+1} f(x) dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sin x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} x f(x)dx = 1$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,\frac{\pi}{4}] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$.