Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1=\frac{2}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x^2+1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)- \frac{1}{x}) dx = 3$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2016$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este mai mic decât $\displaystyle 14\pi$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5x^4+3x^2+1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1(f(x)-3x^2-1)dx$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2(f(x)+e^x)dx=2$.

b) Demonstraţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle e$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n (f(x)+e^x)dx = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2+3x+3)f(x)dx=6$.

b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=3$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)f'(x)dx=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-2\right)dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}f(x)\,dx = 2e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{6-a}\left(f(x)-4\right)dx$.

Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{x+3}dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_0 = 1+3\ln \frac{3}{4}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1}+3I_n=\frac{1}{n+2}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} nI_n = \frac{1}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x-1)dx=\frac{1}{5}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-x^3-1)\ln x dx = \frac{e^2+1}{4}$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx = \frac{3}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} \ln x dx = 4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,a] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este egal cu $\displaystyle \pi \left(\ln a + \frac{7}{2}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x^2 f(x) dx = e(e - 1)$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = 2$ are aria mai mică sau egală cu $\displaystyle e(e - 1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x) - 3x) dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{2}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^2} e^{x} dx = \frac{1-e^{-1}}{1}$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x) dx = 1 - \frac{\pi}{4}$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_0^n 2xf(x) dx = \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-x^2+x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)+x^2-x+1)dx = \frac{15}{4}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(4,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{5}^{10} (x-4)f(x)\,dx = \ln 5$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[5,6]\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} n^2 \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(3x+m)e^x$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \int e^x dx = e^x+c$, $\displaystyle c \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(3x+m)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) dx = 3a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-2x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^{x}(f(x)-x^3-x^2)+1)dx = 3e^2+1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1-f(x)}{x} dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x} dx = 1 - \frac{2}{e}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_1^e \frac{f(x)}{x^n} dx = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = xe^{x^2} - 2$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care $\displaystyle F(1) = 0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x)dx$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{x} f(t)dt = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^{3}-3x^{2}+2$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2}\left(f(x)+3x^{2}-2\right)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f(x)-x^{3}+3x^{2}+x\right)e^{x}\,dx = 2e-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{1-a}^{1+a} f(x)\,dx = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{x^2+2x+2} dx$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x^2+2x+2) dx$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1} = \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n I_n = \frac{1}{5}$.