Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul real $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 = 1-\ln 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

c) Arătați că $\displaystyle nI_n = \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} \frac{x^n}{(1+x)^2} dx$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = xe^{-x}$.

a) Calculați $\displaystyle \int e^x f(x)dx$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle [1, +\infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (e^{x^2+x} - 1)f(x)$, cu proprietatea $\displaystyle F(\ln 1) = \ln \sqrt{e}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\left(x^2+6\right)\cdot e^x$.

a) Calculați $\displaystyle \int\frac{1}{x^2+6}\cdot f(x)\,dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int\frac{x^2\cdot e^x}{f(x)}\,dx$.

c) Să se determine $\displaystyle m\in\mathbb{R}$, știind că funcția $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\left(x^2-2x+m\right)\cdot e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 - \frac{1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați extremele funcției $\displaystyle f$.

c) Considerăm șirurile $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ și $\displaystyle (y_n)_{n \ge 1}$ definite astfel: $\displaystyle x_n = f(\sqrt{1}) + f(\sqrt{2}) + f(\sqrt{3}) + \ldots + f(\sqrt{n})$, iar $\displaystyle y_n = f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) + f\left(\frac{2}{\sqrt{n}}\right) + \ldots + f\left(\frac{n}{\sqrt{n}}\right)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(x_n + y_n + \sin \frac{1}{n}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x - \ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{3x-2f(x)}{x+1} dx = 4$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x) dx$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$ și $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{1+x\sqrt{x}}{x^2}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle F(x) = \frac{4x\sqrt{x}+1}{x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \int f^2(x) \cdot g(x) dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^3 - 6x^2 + 2x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (F(x) - x^3 + 6x^2 - 2x) dx = 2$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle F$ pentru care $\displaystyle f(1)=7$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{F(x)+x}{x} dx = 8 + \ln a$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + x - \frac{2}{x}$ și $\displaystyle F: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = e^x + x - \ln x^2$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Să se calculeze $\displaystyle \int_1^e (x f(x) + F(x))dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x(x^2 - 2x + 7)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x} f(x) dx = \frac{19}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea că $\displaystyle F(0) = 5$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2+2x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-2x-2)dx = \frac{14}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2026$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > -1$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)(f(x)-2x^2)dx = a^2$.

Fie funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+2)\sqrt{x+1}$ și $\displaystyle F: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = (ax^2+bx+c)\sqrt{x+1}+I$.

a) Aflați $\displaystyle a, b, c \in \mathbb{R}$, știind că $\displaystyle F$ este primitiva lui $\displaystyle f$.

b) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{G(x)-G(1)}{x^2-1}$, știind că $\displaystyle G$ este o primitivă oarecare a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 \ln x$.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x) dx$.

b) Demonstrați ca orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (0,1)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = -\frac{10}{9}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{2-\cos^2x}$.

a) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

b) Calculați $\displaystyle \int f(x)\,dx$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)\sin x$, pentru care $\displaystyle G\left(\frac{\pi}{2}\right)=\ln\sqrt{\frac{2}{e}}$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f : (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2+\sqrt{x}}{2x}$ și $\displaystyle F$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int \ln x \cdot f(x) dx$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) \cdot F'(x)$, pentru care $\displaystyle G(1)=2$.

Pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră funcția $\displaystyle f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f_n(x) = x^n \sqrt{x+1}$, iar șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$, este definit prin $\displaystyle I_n = \int_0^1 f_n(x)dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f_2(x)}{\sqrt{x+1}}dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle I_1 = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{15}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_n + 2nI_{n-1} = 4\sqrt{2}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = (x^2+x+1) \cdot e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \displaystyle \int_0^1 f(x) \cdot e^x dx = \frac{11}{6}$, unde $\displaystyle f(x) = (x^2+x+1)' \cdot e^{-x}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \displaystyle \int_0^a f(x) dx = a \cdot e - 2$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Arătați că graficul funcției $\displaystyle F$ are două puncte de inflexiune.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int (x^2+1) \cdot f(x) \, dx$.

b) Determinați funcția $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f'$, pentru care $\displaystyle G(1) = \ln 2$.

c) Calculați $\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{1+2x-x^2}{1+2x^2+x^4}$ și $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+ax}{x^2+b}$, $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$.

a) Să se determine $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$ pentru care funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \int (x^2+1)f(x)dx$.

c) Să se arate că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [3, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle F : (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^2+a}{x+1}$ și $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int \frac{(x+1)^2}{x} dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int \left(f(x) - \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx = 4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a>2$ cu proprietatea că $\displaystyle \int_2^a \frac{f(x)-1}{x^2-1} dx = \ln(\sqrt{5})$.

c) Să se demonstreze că $\displaystyle 1 \le \int_0^1 \sqrt{x \cdot e^{f(x)}} dx \le e-1$.