Se consideră funcțiile $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x}$ și $\displaystyle g(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} (\frac{f(x)}{x} + g(x)) dx$.

c) Determinați numărul $\displaystyle a \in (1, +\infty)$ știind că $\displaystyle \int_{1}^{a} g(x) dx = \frac{\ln a}{2}$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x^2+1)}$.

a) Determinați $\displaystyle \int (x^2-x+1)f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_1^2 x^{n+1}f(x)dx$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+x+1}$.

a) Folosind eventual faptul că $\displaystyle x^2+x+1 \ge \frac{7}{2}$ pentru orice $\displaystyle x \in [2,\infty)$, arătați că $\displaystyle \int_2^e f(x)dx \le 1$.

b) Demonstrați că dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ atunci $\displaystyle F(e) < F(3)$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{\pi}{18}\sqrt{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = (x+2)^3 - 6x^2 - 8$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \int (F(x) + 6x^2 - 8) dx$.

b) Să se verifice dacă funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{4} + 6x^2 - 2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Să se determine $\displaystyle a \in \mathbb{R}$, $\displaystyle a > 1$, astfel încât $\displaystyle \int_1^a (F(x) - x^3) e^x dx = 36e^a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-3$.

a) Verificați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = -2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) \cdot e^x dx = 5-3e$.

c) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât aria suprafeței plane determinate de graficul funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}$ axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuație $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ să fie egală cu $\displaystyle a \cdot \pi - \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1-x^3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1, x=e$, unde $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x^2}$.

c) Arătați că $\displaystyle (3n+4) \int_0^1 x^n(1-x^3)dx = 3 \int_0^1 x^n(x^3-1)dx$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^4+1) \cdot f(x)dx = \frac{9}{4}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{1}{4}\ln(x^4+1) + \frac{1}{2}\operatorname{arctg} x^2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 xf(x^2)dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x + \frac{2}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 (f(x) - \frac{2}{x^2}) dx = \frac{38}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e f(x) \cdot \ln x dx = \frac{(e \ln e)^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{e^2 - 1}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = a$ este egală cu $\displaystyle 2(6 + \ln a)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2 - 4x + 4)e^x$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \int \frac{f(x)}{e^x} dx$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{(x-2)^2} dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Fie funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} xe^x, & x\leq 0 \\ \frac{x^2}{x+1}, & x>0 \end{cases}$.

a) Să se arate că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f$, știind că graficul primitivei trece prin punctul de coordonate $\displaystyle A\left(-1,-\frac{2}{e}\right)$.

c) Să se arate că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

Fie funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^2+9}{x}$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^3 \frac{x^3+9x}{x} \, dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int f(x) \cdot \ln x \, dx$ unde $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^2-4x+1$.

a) Calculați $\displaystyle \int\frac{f(x)}{x^2}\,dx$, pentru $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=4$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle \left[\frac{2}{3},+\infty\right)$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{(x+1)(x^2+1)}$ și $\displaystyle F:(-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = a \ln(x+1) + b \ln(x^2+1) + c \operatorname{arctg} x$, unde $\displaystyle a,b,c$ sunt parametri reali.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{x+1}{2x} f(x)dx$.

b) Să se determine $\displaystyle a,b,c$ astfel încât $\displaystyle F$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Să se studieze monotonia funcției $\displaystyle F$, dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x(x+1)(x-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x} \, dx = \frac{7}{2}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ știind că $\displaystyle F(1) = -1$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_2^e \frac{f(x) \ln x}{x^2 - 1} \, dx = \frac{e^2}{2} - 2 \ln 2 + 1$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^2+2x$ și $\displaystyle g(x)=x^3+x^2+2025$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle g$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} e^x(g(x)-x^3-x^2)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{x}dx = a - \frac{3}{2}$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f,g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ definite prin $\displaystyle f(x) = \operatorname{arctg} x$, iar $\displaystyle g(x) = \operatorname{arctg} \frac{1}{x}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F: (0, \infty) \to \mathbb{R}, F(x) = x \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2} \ln(x^2+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_1^x f(t) dt$.

c) Determinați acea primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g$ al cărei grafic conține punctul $\displaystyle A(\sqrt{3}, \ln 2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(2-x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\ln 2} \frac{f(x)}{e^x}dx = \frac{3}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=3-2\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle \int_0^a \frac{f(x)}{x(e^x+3x^2)}dx = \ln \left(\frac{a+4e}{a+e^a}\right)$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f,F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=(3-x)e^x$ și $\displaystyle F(x)=(x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=\frac{e^x f(x)}{x^2+1}$.

c) Aflați intervalele de concavitate și convexitate ale funcției $\displaystyle F$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f, F: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1+\ln x}{x}$ și $\displaystyle F(x) = x \cdot \ln x$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva funcției $\displaystyle f$, a cărei reprezentare grafică trece prin punctul $\displaystyle A(e, e+1)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x \cdot e^x} dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x+3, & x \le 0 \\ e^{-x}+2, & x > 0 \end{cases}$

a) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x+3)^2dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este concavă.