Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 xf(x) dx = \frac{32}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) - \frac{1}{x} dx = e^2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = a$, este egală cu $\displaystyle 4 + \ln a$.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \operatorname{arctg}x$, $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = \int_0^x F(t) dt$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle G_1$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x F(x)$ cu proprietatea că graficul lui $\displaystyle G_1$ conține punctul $\displaystyle A(1, -\frac{\pi}{4})$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{G(x)}{x^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx = \frac{\pi}{8}$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} \int_1^x f(t)dt$.

Fie funcția $\displaystyle f_{p,q}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f_{p,q}(x)=(\sin x)^p - (\cos x)^q$, unde $\displaystyle p,q \in \mathbb{N}^*$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=-\frac{1}{4}\cos 2x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f_{1,1}$;

b) Calculați $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f_{3,1}(x)dx$;

c) Fie $\displaystyle F$ o primitivă a funcției $\displaystyle f_{2022,2023}$. Demonstrați că există un număr real $\displaystyle k$ astfel încât $\displaystyle F(x+2\pi)-F(x)=k$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \ln(1+\sqrt{2})$.

b) Determinați $\displaystyle a \in (0, \frac{\pi}{2})$ pentru care $\displaystyle \int_0^a \operatorname{tg} x dx = \frac{\pi+2\sqrt{2}}{4}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-2}{x-2}, & \text{dacă } x < 1 \\ 2 \ln x - 1, & \text{dacă } x \ge 1 \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{x^2-2}{x-2} \, dx, x \in (0,1)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ admite primitive.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, x \le 0 \\ e^x + 2x, x > 0 \end{cases}$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ admite primitive .

b) Arătați că orice primitivă este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Calculați $\displaystyle \int x \cdot f(x)dx$, pentru $\displaystyle x \in [0,\infty)$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f_n(x) = \frac{x^n}{x^2+4}$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}$.

a) Arătați că $\displaystyle F_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F_1(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+4)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f_1$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f_1$ a cărei reprezentare grafică trece prin punctul $\displaystyle A\left(2, -\frac{\pi}{2}\right)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f_n$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int (x^2+x+1)f(x)dx = \frac{x^3}{3}+x+C$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de extrem.

c) Determinați funcția $\displaystyle G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$, cu proprietatea $\displaystyle G(1)=\frac{\pi}{4}$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e^x(\sin x + \cos x)$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=e^x \sin x$.

a) Verificați dacă funcția $\displaystyle g$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva funcției $\displaystyle g$ a cărei reprezentare grafică conține punctul $\displaystyle O(0,0)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

Fie funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\int_0^1\frac{t^x}{t+1}\,dt$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)$.

b) Arătați că $\displaystyle f(x+1)+f(x)=\frac{1}{x+1}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\geq\frac{1}{2(x+1)}$, $\displaystyle \forall x\in(1,\infty)$.

Fie funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \int_0^x (1-t^2)^n dt$, unde $\displaystyle n \in \mathbb{N}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1-x^2}dx = \ln 2 - 1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției date este concavă pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru orice $\displaystyle n$ număr natural se definește șirul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1} = 2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = - \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+2e^x\right) dx = -1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, și funcția $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln(x+2)}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int f(x)(x^2+1)dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle F\left(-\frac{1}{2023}\right) < F\left(-\frac{1}{2024}\right)$, unde $\displaystyle F:(-2, +\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f^2(x) dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = xf(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x t \cdot f(t) dt$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2e^x$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x(x+2)e^x$.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x)e^{-x}dx$, $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle H:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)$, știind că $\displaystyle H(1)=3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)\ln x dx = \frac{2e^3+1}{9}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \in (0,\infty)$, pentru care $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (f(\sin x)+f(\cos x))\operatorname{tg} x dx = \ln a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x - x^2 + 3$.

a) Calculați $\displaystyle \int (f(x) + x^2 - 3) dx$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$, care verifică relația $\displaystyle F(0) = 2$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

Fie șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 0}$, definit prin $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{x^2+x+1} dx$.

a) Calculați $\displaystyle I_0$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 0}$ este monoton și mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x^2 + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x) - 1) dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{6x}{f(x)} dx = \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{a} f(\sqrt{x}) dx = \frac{33}{2}$.