Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{\sqrt{2}-1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x}{f(x)} dx = \frac{\ln 3}{4}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[0,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \frac{a \pi}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5x^2+2x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(f(x)-2x)dx=\frac{8}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2\frac{1}{f(x)-5x^2}dx=\frac{\ln 5}{2}$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-2x}{\sqrt{5x^2+1}}$, pentru care $\displaystyle G(1)=5$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-4}{x \ln x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 xf(x) \text{d}x = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_e^{e^2} \frac{f(x)}{x} \text{d}x = \text{ln} 2$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{(x-2)F^2(x)} \int_2^x (t-2)F(t) \text{d}t = \frac{\text{ln} 2}{4}$, unde $\displaystyle F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1}.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx = 3.$

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 \frac{8}{f(x)}dx = 1.$

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}.$ Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=4.$

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+1+xe^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^4\left(f(x)-xe^x\right)dx=12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x-1\right)dx=1$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{f'(x)}}{f(x)}$. Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \frac{\pi(e+1)}{e+2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x^3+\frac{1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 4\text{ln}x \cdot \frac{f(x)-4x^3}{x}dx=e^2+9$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:(-2,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(e^x-1)e^{-4e^{3x}}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{1}{2}\text{ln}\frac{3e}{e^2+2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 4x+3-\frac{6}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3+6\sqrt{x})dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 \frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}dx = 12$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x) \cdot \sqrt{x}$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{1+\ln^2{x}}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \left(f(x)-x-\frac{\ln^2{x}}{x}\right)dx=12+\ln3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-6-\frac{1}{x}}{x}dx = \frac{\ln^3{e}}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-6}{x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele cu ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ este egală cu $\displaystyle m\left(1-\frac{2}{e}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{e^x}dx=\frac{5}{6}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f'(x)}{x}dx=e(2e-1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{xf(x)}{f(x-1)}dx=ae(5+\ln 3)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-4,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{4x}{\sqrt{x+4}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) \cdot \sqrt{x+4} dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x} f(x) dx = 4$.

c) Se consideră $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ și funcția $\displaystyle g: [a, a+8] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$. Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle 4\pi(2-\ln 2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \left(4x^2-\frac{6}{x^2}\right)\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{\ln x} dx = 11$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x(f(x)-4x\ln x)dx=3$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F:(0, \infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle F$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+4x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f(x)e^{-x}dx = 27$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f(x)}{x^2+4}dx = -1$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x^2)}{x^2}$. Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-3, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + 2 + \frac{2}{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x - 2)dx = 16$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 (f(x) - x - 2)dx = 4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-2}^a f'(x) \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right) dx = \ln(2e^6)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-\infty, 0) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x\sqrt{1-x}$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f^2(x)}{x^2} dx$, $\displaystyle x \in (-\infty, 0)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b, c$ astfel încât funcția $\displaystyle F: (-\infty, 0) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = (ax^2+bx+c)\sqrt{1-x}$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Fie $\displaystyle G: (-\infty, 0) \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{G(x)}{x\sqrt{(-x)^5}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{x^2+1}$.

a) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este funcție convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\int_{1}^{n+1} f(x)dx}{n} = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^{x^2}} dx = e$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{e^{x^2} - f(x)}{x^2} dx = \frac{3}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2e^x$.

a) Determinați $\displaystyle \int f(x)e^x dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = e^x (-x^2 + x + 1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [0, 3]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f_n: [0, \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f_n(x) = \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \ldots \cdot \cos 2^{n-1}x$ și $\displaystyle I_n = \int_0^{\pi/2} f_n(x)dx$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

a) Calculați $\displaystyle I_1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f_2$ este convexă pe $\displaystyle [0, \frac{\pi}{8}]$.

c) Să se determine primitiva funcției $\displaystyle f_{2023}$ care trece prin punctul $\displaystyle A(0,0)$.

Se consideră şirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$.

a) Calculaţi $\displaystyle I_2$.

b) Demonstraţi că şirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

c) Demonstraţi că $\displaystyle (2n+1)I_n = 2nI_{n-1}$, pentru orice $\displaystyle n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+\frac{1}{x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx = \frac{4}{3}-\ln 2$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2}+\ln(n^2+n)$.