Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+1)/e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x) dx = 12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = (2e-3)/e$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (x^n-1)/(e^x f(x)) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \ln(2)/n \le I_n \le (e-1)/n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x^2-x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)dx=7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^5 (3x^2-f(x))dx=2\ln3$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x}-1)$. Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (a+bg(x))g'(x)dx=4a$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln x) dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-x}{x} dx = \frac{1}{2}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_1^n f(x) dx = 2+3\ln n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + x^3-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^3+1)dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x}{f(x)-x^3+1}dx = \ln(e^2-1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}dx \le 1 - \frac{2}{e}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+4}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x) - \frac{4}{x} \right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x^2 \left( f(x) - \frac{4}{x} \right) \ln x dx = 2\ln e - 2\ln 1 - 2 = -2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)f'(x) \right) dx = m \left( f(2)-f(1) \right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(f(x)-3)dx=1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x(f(x)-2x)dx=3e-1$.

c) Determinați $\displaystyle a\in(0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x(x+3)}dx=\ln\frac{a}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{(x+1)^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)(x+1)^3 dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x^3+1} dx = 1-\ln 2$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(e^x)}{e^x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{e^2-1}{2(e+1)^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^3+3x+3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x-3)dx = \frac{1}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-x^3-1}dx = \frac{1}{18}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-3}{x^2} - \ln x dx = \frac{e^2+m}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+4x+8$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-4x-8) dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{f(x)-4} dx = \frac{1}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=8x^3+1+\ln^2 x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x(F(x)-1-\ln^2 x)dx = 31$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{F(x)-8x^3}{x}dx = \frac{1}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^n}{F(x)-8x^3}dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+2} + I_n \le 2^{n+1}(e^4-1)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{3}{2}+\ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 f(x)\sqrt{x} dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 f(x) dx = \frac{14}{3}-2\ln 2$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[2,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{\sqrt{2}}{f(x)}$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \pi \ln(4e)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \left(0, +\infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f \left(x\right) = x - 1 + \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \left(f\left(x\right) - \ln x\right) dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f\left(x\right) + 1}{x} dx = \frac{1}{2} \left(e^2 - 1\right)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g : \left(0, +\infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g\left(x\right) = 3x \left(f\left(x\right) + 1\right)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = 3$ este egală cu $\displaystyle a + 27 \ln 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 e^x dx = e-2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2(e^x-1))dx = 5-\frac{6}{e}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{f(x)} dx$. Arătați că $\displaystyle I_{n+1} + 4I_n \le \frac{e}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=6x+\frac{2 \ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)-\frac{2 \ln x}{x} \right) dx = 15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-6x)dx = \ln^2 e - \ln^2 1 = 1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^{e^2} \left( \frac{f(x)}{x} + f'(x)\ln x \right) dx = af(e^2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: [-3, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x + \sqrt{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - \sqrt{x+3}) dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{f(x) - 2x} dx = 2$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[0,6] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x}{\sqrt{x+3}}$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle 9\pi \ln 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{2x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (2x^2+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{f(x)}dx = \frac{1}{2}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{f(\sqrt{e^x})} dx$. Arătați că $\displaystyle (n+1)I_n - I_{n+1} = \frac{2(n+1)}{n+2} + \frac{1}{e^n}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x+1+3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-3\ln x)dx=7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-4x-1}{x}dx=3$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2}dx = a \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x+2x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx = e+1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)-e^x} dx = \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = 5+\frac{a}{e}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x+\sqrt{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-(x^2-2x))dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{f(x)-x^2+2x}dx=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x F(t)dt = \frac{1}{2}$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.