a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)-\frac{3}{x} \right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} f(x)$ este crescătoare.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{f(x)-\frac{3}{x}} dx = \frac{\pi}{12}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=x^2+x+\mathcal{C}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f(x)}{2x+3}dx$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle 2(e+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x+3} dx = \frac{13}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-2}^2 \frac{f(x)}{x^2+1} dx = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)} dx = \frac{\pi}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)-x^3) dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^2}{f(x)-x^2+2} dx = \frac{\ln 5}{3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)e^{-x}}{x}$. Arătați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x)dx=12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^2-2)e^x dx=4$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f'(x)}{f(x)}e^{f(x)-1}dx=63$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)(x^2+1)^2 dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{4}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{x^2+1}} dx$. Arătați că $\displaystyle I_{n+4} = \frac{2}{(n+2)(n+4)}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^3) dx=4$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{f(x)-x^3-x} dx=\frac{\ln 2}{3}$.

c) Determinaţi $\displaystyle a \in (-\infty,0)$, știind că $\displaystyle \int_a^0 e^{-x}(f'(x)-f(x))dx = 1-a^2e^{-a}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+3)^{2}dx=\frac{98}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=\frac{1}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{6}\frac{f(x)}{x+3}dx=3(a-\ln 3)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{2}{3} \ln 4$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (3x^2+1)f(x)dx = 2$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{4\ln x}{f(x)}$ , axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ este egală cu $\displaystyle \frac{3e^2+5}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+1)f(x)\,dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 1+2\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{2}\left(x^{2}-1\right)e^{x}f(x)\,dx = e(e+a)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}(x^2+1)f(x)dx = \frac{5}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = \ln 3$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=(x^2+x+1)f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle e+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+1)f(x) dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 f(x) \ln 2 dx = \ln 2$.

c) Determinați $\displaystyle m \in (1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_1^m \frac{e^x f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx = 6$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(x)-6x^2)dx = \frac{12}{5}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x^3}{f(x)-1}dx = \frac{\ln 6}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3}\int_0^x (f(2t)-f(t))dt = 6$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x)dx=12$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-x^3}dx=\frac{1}{4}$.

c) Arătaţi că aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-x^3-1}{e^x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle 3\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>1$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{2x f(x)}{x^2+1}dx = e(e^3-1)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1(x^2+1)f(x)dx=\frac{1}{3}$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 2xf(x)dx=\ln 5$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 e^x\left(f(x)+e^x\left(x^2+1\right)f'(x)\right)dx=e(ae-a+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln x) dx = \frac{7}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-x-1)dx = \frac{e^2+1}{4}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{1}{(f(x)-x \ln x)^2}$ este egal cu $\displaystyle \frac{7\pi}{24a}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}})dx = \frac{18}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 f(x) - (3x) dx = 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-2}^a (f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+3}})dx = 9(a-2\ln 2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{4}{e^3}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(x^2-2x+3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle 3(e^2-1)$.