Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x+1+1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right) dx = 12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)-6x dx = 2 \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x+1} dx = \frac{a(e^2-1)}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = \frac{1}{2}\ln 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} f^2(x) dx = \frac{19}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^2 \frac{x^n}{f^2(x)} dx$. Determinați numărul natural $\displaystyle n, n \ge 2$, pentru care $\displaystyle I_{n+2}+4I_n=\frac{3}{n-1}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(3-2x)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f'(x)}{e^x} dx = 2$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (-\infty, 1)$ pentru care $\displaystyle \int_a^0 \frac{f(x)}{e^x(3-2x)} dx = \frac{2}{9}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = (x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = 2-e$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n, n>2$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{x}{f(x)} dx = \frac{1}{2} \ln \frac{n-1}{8}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2} (f(x)-e^x-\frac{1}{e^x+1})dx=e^2+1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x-e^x)dx=\ln(e+1)-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{1} x(f(x)+f(-x))dx=\frac{m}{2e}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+4}{6x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}(6x^2+1)f(x)dx=\frac{11}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f(x)-\frac{4}{6x^2+1}\right)dx=\frac{\ln 5}{6}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x+4}{f(x)}e^{2x}dx=m(e^2-1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x(x^2 - 3e^x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+3xe^x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 xf(x^2)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f'(x)-x}{f(x)-x^2}dx = a \ln\left(e+\frac{1}{2}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{e^{x^2}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^{x^2}f(x)dx=12$.

b) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3}{e^{x^2}f(x)}dx = \frac{a-\sqrt{2}}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x + 2x}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)dx = e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)dx = -1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 F(x)f'(x)dx = \frac{a(e+1)}{e^2}$, unde $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea $\displaystyle F(0)=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + e^x + \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - e^x)dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x(2f(x)-1)dx = \frac{5}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^0 (f(x)-x) \cdot f(x)dx = \frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(1+e^{-x})f(x)dx=8+e^3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-m}^m \frac{f(x)}{x^2+e^x}dx=m$, pentru orice $\displaystyle m\in(0,+\infty)$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{e^{ax}-1} \int_0^x f(t)dt \right)=1$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+x\ln x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}(3f(x)-x\ln x)dx=7$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x^3}dx=2\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

c) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle g:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=e$ are aria strict mai mare decât $\displaystyle 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+1+\frac{1}{\sqrt{x+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+1}}\right) dx = 6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \pi \left(\frac{91}{3} + \ln 4\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2+2x)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)e^x dx = \frac{2}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x+2} dx = \frac{e-2}{e}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int_0^x f(t) dt \right) = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2 + 4\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - 4\ln x) dx = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x f(x) dx = 3e^4 + 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} f(x) F''(x) dx = \frac{(3e-1)(3e+5)}{2}$, pentru orice primitivă $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-9, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+9) f(x) dx = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{8x} f(x) dx = \frac{3}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) dx = 6(4 + a\pi)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{e-1} \frac{f(x)-6x}{x+1}dx = \frac{1}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x^2)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle a\pi + \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x(x-1)^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x} dx = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)} dx = 2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x} \ln(e^x) dx = \frac{e^2-5}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 4x^3 + 3x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 3x) dx = 15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2+3} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g : [1, 2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x^3 + f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle 2\pi f(3)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{2}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \frac{4x}{f(x)}dx = \ln 3$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(\ln x)}{x} dx = \frac{n}{e^4}$.