Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+5}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} (x^2+1)f(x)dx = 24$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{x^2+5}dx$.

c) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle [0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+4x+5} dx = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f^2(x)-4) dx = 4\ln 2$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b f^n(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\to\infty} I_n = +\infty$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x))^2 dx = \pi-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x} dx = 2\sqrt{2}-2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x^2)}{x} dx = \ln(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt{2}-4)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+1)\sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \frac{5}{2}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \ln x dx = \frac{e^2+a}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+1)\sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \frac{5}{2}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \ln x dx = \frac{e^2+a}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+3)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 g(x)dx = \ln \frac{9}{5}$, unde $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{2x+1}{x} \cdot f(x)$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b (f''(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1+\frac{2x^2}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)f(x)dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 \frac{x}{f(x)}dx = 4+\ln 5$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x+1) \geq F(x)+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x+3x^2+3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3x^2-3) dx = e^2-e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x(f(x)-e^x-3) dx = \frac{5}{2}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,1)$, știind că $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{f(x)-f'(x)} dx = \frac{1}{6}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2}{x^2+x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+2)f(x) \text{d}x = \frac{17}{6}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{x}{x^2+x+2}$. Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 g(x) \text{d}x = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{a+\sqrt{3}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+6x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x^3)dx = 9$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-6x} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^a f(\sqrt{x})dx = \frac{a^3}{5}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 + \frac{2x}{x^4+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 1 - \frac{1}{x^4+1})dx = \frac{1}{5}$.

b) Se consideră $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Știind că graficul funcției $\displaystyle F$ are asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$, determinați panta acestei asimptote.

c) Se consideră funcția $\displaystyle G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0)=0$. Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x G(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) e^{-x} dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a} f(x) dx \ge -\frac{2a}{e}$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^{2}+\ln x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{4}\left(f(x)-\ln x+1\right)dx = 21$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{2}^{4} \frac{x}{f(x)-\ln x}\,dx = \frac{1}{2}\ln 5$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{f(x)}{x^{2}}\,dx = \frac{a-\ln a}{a}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+3}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 2f(x)dx = \frac{\pi}{4}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

c) Arătați că, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle a<b$, $\displaystyle \int_a^b F^2(x)f(x)dx>0$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x + 3 - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x) + \ln x) \, dx = e^2 + 3e - 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} (2x + 3 - f(x)) \, dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f(x^3 + 1) \, dx = \frac{4(2 - \ln 2)}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln(x-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x}dx = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(\sqrt{7}) < F(3)$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \int_2^3 f(x)dx = m(4 \ln 2-1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2\ln x}{x^3}$ și funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, o primitivă a lui $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x^2\left(f(x) + \frac{2\ln x}{x^3}\right) dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt[4]{5}} x\cdot f(x^2+3) dx = -\frac{5\ln 2}{128}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_e^{e^2} x \cdot F(x) dx = \frac{a^2-1}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+4)f(x)dx=6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x}f(x)dx=\ln 2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^4 (f(x)-\sqrt{x^2+9})dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)+x-3}dx=2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)}dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x(e^x+2x^2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x+2x^2} dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x^3)dx = e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x} f\left(\frac{1}{x}\right) dx = \frac{e^2-e}{2}+a$.