Se consideră funcția $\displaystyle f: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 - x^3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x) dx = \frac{1}{12}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x))^{n+1} dx \leq \int_0^1 (f(x))^n dx$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)\sqrt{x^2+4}-x)dx = \frac{5}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 \frac{x}{f(x)\sqrt{x^2+4}}dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2 + 2x + 5}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \left(x \cdot \frac{1}{f(x)} - 1\right) dx = \frac{31}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 g(x) dx = \frac{1}{2} \ln \frac{8}{5}$, unde $\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) + \frac{1}{x^2 + 2x + 5}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{-1}^1 x^{2n-1}f(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-xe^x)dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{e^2-e+3}{2}$.

c) Se consideră $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitiva funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$. Arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)dx = \frac{5-3e}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)(x+1)) dx = e^2-e^0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f'(x)}{f(x)} dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x \ln(x+1) dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^{-x}f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 x \ln(f(x)) dx = 2\ln 2 - 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x-2}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{2\sqrt{3}} (x^2+4)f(x)dx=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^x f(t)dt \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f^2(x) dx = 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \ln(f(x)) dx$.

c) Demonstrați că există un singur număr real $\displaystyle x \in [0,+\infty)$, pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{f^2(t)} dt = 2021$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 |f(x)|dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f^n(x)dx$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3 - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}} (f(x) + \ln x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e (x^3-f(x)) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{1}{x} f(\sqrt{x}) dx = \frac{2e^3-5}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x f(x)-2)dx = \frac{2}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{f(x)/(e^x)}dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră integral $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n f(x)dx$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x^3+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^2(f(x))^3 dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^x \ln(f(t))dt \ge \int_1^x \ln(4t^3+1) dt$, pentru orice $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{3x}{\sqrt{x+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} x\sqrt{x+1}\,f(x)\,dx = 7$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{2}(x)\,dx$.

c) Știind că $\displaystyle F:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = 2(x+1)\sqrt{x+1}-6\sqrt{x+1}+4$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x)F(x)\,dx = 32$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2,2) \to →$, $\displaystyle f(x) = x + \frac{x^2}{x^2-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 (f(x) + f(-x)) dx = \frac{5}{8}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(x) + f(-x)) dx = 4(1 - ln 3)$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, \sqrt{3})$, pentru care $\displaystyle \int_a^{\sqrt{3}} \sqrt{3}-f(x) dx = \sqrt{3}-1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \operatorname{arctg} x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x)dx = \frac{\pi}{a} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x)dx=0$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^n}dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 + \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle I_2 = 2 - \frac{\pi}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n \le \ln 2$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2 \operatorname{arctg} x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x} dx = \frac{5\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{2\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x} dx = \frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f^n(x) dx = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x\sin x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2f(x)}{\sin x}dx = e^\pi(e-1)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)dx = -\frac{\ln 2}{\sqrt{e^\pi}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2xe^x-2x+1}{x}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \ln x + 2e^x - 2x + 2021$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) \, dx = 2e^e - 4e + 3$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^2 xf(x) \, dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x + \frac{1}{x} - 4\ln x$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^2 - 4x\ln x + 4x + \ln x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 (x+2)f(x)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m>2$, astfel încât $\displaystyle \int_2^m f(x)dx = 2m + \frac{1}{m} - \frac{17}{2}$.