5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(-5,2)$ şi dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=x+1$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A$ şi este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(1,2)$ și $\displaystyle C(-1,-2)$. Demonstrați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle (a-1)x-a^2y-a^2=0$, unde $\displaystyle a$ este număr real nenul. Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$, știind că dreapta $\displaystyle d$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1, -1)$ și $\displaystyle B(3, 4)$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle AO$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,3)$, $\displaystyle B(-2,1)$, $\displaystyle C(4,3)$ și $\displaystyle D(8,5)$. Demonstrați că patrulaterul $\displaystyle ABCD$ este paralelogram.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-3,3)$, $\displaystyle B(1,3)$ și $\displaystyle C(1,5)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(2,3)$ și $\displaystyle N(-1,4)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle P$, simetricul punctului $\displaystyle N$ față de punctul $\displaystyle M$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreptele $\displaystyle d_1$, de ecuație $\displaystyle y = ax+2$ și $\displaystyle d_2$, de ecuație $\displaystyle y = \frac{x}{4}+1$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ sunt paralele.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,1)$ și $\displaystyle B(2,5)$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle OM$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,2)$, $\displaystyle B(4,1)$ și $\displaystyle C(0,8)$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle CM$, știind că $\displaystyle M$ este simetricul punctului $\displaystyle A$ față de punctul $\displaystyle B$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreptele $\displaystyle d_1: y = \frac{x}{2} + 2$ și $\displaystyle d_2: y = (m - 3)x + 1$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ sunt perpendiculare.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(1,2)$, $\displaystyle N(4,3)$ și $\displaystyle P(6,1)$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle MQ$, unde $\displaystyle Q$ este mijlocul segmentului $\displaystyle NP$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-1$. Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ și care are abscisa egală cu dublul ordonatei.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(-1,1)$, $\displaystyle N(2,1)$ și $\displaystyle P(2,4)$. Determinați lungimea înălțimii din $\displaystyle N$ a triunghiului $\displaystyle MNP$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(1,n)$, $\displaystyle N(n,3)$ și $\displaystyle P(2n,5)$, unde $\displaystyle n$ este număr natural. Știind că vectorii $\displaystyle \vec{MN}$ și $\displaystyle \vec{MP}$ sunt coliniari, determinați numărul natural $\displaystyle n$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,a)$, $\displaystyle B(b,7)$ și $\displaystyle C(2,5)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Știind că punctul $\displaystyle C$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$, determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(-1,5)$, $\displaystyle C(-3,4)$ și $\displaystyle D(a,4)$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că vectorii $\displaystyle \vec{AD}$ și $\displaystyle \vec{CB}$ sunt coliniari.

5. Se consideră dreptunghiul $\displaystyle ABCD$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}$. Știind că lungimea vectorului $\displaystyle \vec{v}$ este egală cu 20, determinați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{BD}$.