Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u} = a\vec{i} + 2\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = 3\vec{i} - 3\vec{j}$ sunt coliniari.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,2)$ și $\displaystyle B(2,4)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $\displaystyle AB$.

Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că punctul $\displaystyle A(1,5)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + m$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(0,3)$, $\displaystyle N(4,3)$ și $\displaystyle P(4,0)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle MNP$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$ și $\displaystyle B(2,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle M$, știind că punctul $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AM$.

În reperul cartezian $\displaystyle XOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(2,2)$ și $\displaystyle N(4,2)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle P$, situat pe axa $\displaystyle Ox$, astfel încât $\displaystyle PM = PN$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, se consideră punctele $\displaystyle A(2,5)$, $\displaystyle B(1,3)$ și $\displaystyle C(m,1)$, unde $\displaystyle m$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$, stiind că punctul $\displaystyle C$ aparține dreptei $\displaystyle AB$.

5p În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle M(8,6)$. Calculați distanța dintre punctele $\displaystyle O$ și $\displaystyle M$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, punctul $\displaystyle M$ mijlocul laturii $\displaystyle BC$ și punctul $\displaystyle N$ mijlocul medianei $\displaystyle AM$. Demonstrați că $\displaystyle \vec{BN} = \frac{3}{4}\vec{BA} + \frac{1}{4}\vec{AC}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle 4x - 3y + 12 = 0$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(a,0)$ aparține dreptei $\displaystyle d$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, 1)$, $\displaystyle B(2, 3)$ și $\displaystyle C(3, a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctele $\displaystyle A, B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=-x+3$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreapta $\displaystyle d'$ de ecuație $\displaystyle y=ax-5$ este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2-5x+4$. Determinați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f$ cu axa $\displaystyle Ox$.

6. Calculați aria triunghiului $\displaystyle A B C D$, știind că $\displaystyle A B=3$ și $\displaystyle A C=5$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$ și $\displaystyle B(5,5)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle C(-2,6)$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle AB$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,5)$, $\displaystyle B(1,1)$ și $\displaystyle C(5,5)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

5. Punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ verifică relația $\displaystyle 2\vec{MN} + 3\vec{NP} = \vec{0}$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle MP$, știind că $\displaystyle MN = 3$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(2,3)$ și $\displaystyle N(0,3)$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle MN$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,2)$, $\displaystyle B(3,5)$ și $\displaystyle C(-1,3)$. Determinați coordonatele simetricului punctului $\displaystyle A$ față de mijlocul segmentului $\displaystyle BC$.