În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,5)$, $\displaystyle B(3,-5)$ și $\displaystyle C(a,a+6)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle OC$ sunt paralele.

În raport cu un reper cartezian $\displaystyle Oxy$, vârfurile triunghiului $\displaystyle ABC$ au coordonatele $\displaystyle A(-1,1)$, $\displaystyle B(2,1)$ și $\displaystyle C(0,-3)$. Determinați ecuația medianei din $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

2. Determinați coordonatele punctului de intersecție al graficelor funcțiilor $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x-2$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=-2x+3$.

5. Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(1,-2)$ și este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2x+3$.

5. Să se determine ecuația dreptei ce conține punctul $\displaystyle A(1, 1)$ și este perpendiculară pe dreapta de ecuație $\displaystyle x+y+1=0$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,2)$ și $\displaystyle B(1,-1)$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ și $\displaystyle C(a,4)$ sunt coliniare.

5. Fie $\displaystyle ABCD$ un pătrat de latură $\displaystyle 2\sqrt{2}$. Calculați modulul vectorului $\displaystyle \vec{AB} + \vec{DA}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(1,-2)$ și $\displaystyle C(6,3)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic și calculați aria acestuia.

În sistemul cartezian de coordonate $\displaystyle xOy$ se dau punctele $\displaystyle A(2, -1)$, $\displaystyle B(1, 1)$, $\displaystyle C(1, 3)$ și $\displaystyle D(a, 4)$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$. Să se determine valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care dreptele $\displaystyle AC$ și $\displaystyle BD$ sunt perpendiculare.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(a,3)$ și $\displaystyle B(0,9)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că segmentul $\displaystyle AB$ are lungimea egală cu $\displaystyle 10$.

5. În sistemul de axe $\displaystyle xOy$ se dau punctele $\displaystyle A(-1,0), B(0,2)$ și $\displaystyle C(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$. Să se determine coordonatele punctului $\displaystyle C$ astfel încât $\displaystyle G$ să fie centrul de greutate al triunghiului $\displaystyle ABC$.

5.Fie $\displaystyle ABC$ şi punctele $\displaystyle E$ şi $\displaystyle F$ astfel încât $\displaystyle \vec{EA}=-2\vec{EC}$ şi $\displaystyle \vec{FB}=\frac{1}{2}\vec{AF}$. Arătați că $\displaystyle \vec{FB}+\vec{EC}=\vec{AG}$, unde $\displaystyle G$ este centrul de greutate al $\displaystyle \triangle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2;1)$, $\displaystyle B(2;3)$ și $\displaystyle C(0;m)$. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle AB=BC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,5)$ și $\displaystyle B(3,-1)$. Determinați distanța dintre punctul $\displaystyle O$ și mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(3, -4)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = -2x + a + 4$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,4)$, $\displaystyle B(2,0)$ și $\displaystyle C(6,4)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

5. Dacă $\displaystyle A(-2, 1)$ și $\displaystyle B(4, 3)$, determinați ecuația mediatoarei segmentului $\displaystyle AB$.

5. Să se determine valoarea numărului real $\displaystyle a$, ştiind că vectorii $\displaystyle \vec{v} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ şi $\displaystyle \vec{u} = a\vec{i} + 4\vec{j}$ sunt perpendiculari.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(1,2)$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$, de ecuație $\displaystyle x-2y+3=0$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,3), B(5,1), C(-1,-2)$ și $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AB$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle MC$.