5p 5. Se consideră punctele $\displaystyle A, B$ și $\displaystyle C$ astfel încât $\displaystyle \vec{AB} = 4\vec{i} - 2\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{AC} = -2\vec{i} + 6\vec{j}$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle [BC]$.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x+3$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, 2)$, $\displaystyle B(5, 2)$ și $\displaystyle C(5, 6)$. Demonstrați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

Patrulaterul $\displaystyle ABCD$ are lungimea laturii $\displaystyle AB = \sqrt{2}$. Să se calculeze $\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{BD}$.

Fie $\displaystyle ABCD$ un paralelogram și punctele $\displaystyle E$ și $\displaystyle F$ astfel încât $\displaystyle \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{ED}$ și $\displaystyle \overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FE}$. Să se demonstreze că punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle F$, $\displaystyle C$ sunt coliniare.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2, 2)$, $\displaystyle B(2, 5)$ și $\displaystyle C(5, 1)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

5p Să se calculeze distanța dintre punctele de intersecție ale graficului funcției $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 8x - 9$ cu axa $\displaystyle Ox$.

5p Să se determine distanța de la punctul de intersecție a dreptelor $\displaystyle d_1 : x+y-2=0$ și $\displaystyle d_2 : 2x+y-3=0$ la dreapta de ecuație $\displaystyle d_3 : 3x-4y-14=0$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, $\displaystyle A \in (0, +\infty)$, punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ astfel încât $\displaystyle \vec{AB} = \vec{AM}$, $\displaystyle \vec{BC} = \vec{BN}$ și $\displaystyle \vec{CA} = \vec{CP}$. Demonstrați că $\displaystyle \vec{AM} + \vec{BN} + \vec{CP} = \vec{0}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,3)$, $\displaystyle B(0,1)$ și $\displaystyle M$, mijlocul segmentului $\displaystyle AB$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle d$ care trece prin punctul $\displaystyle M$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle AB$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$, $\displaystyle B(2,3)$ și $\displaystyle C(0,-2)$. Determinați ecuația paralelei duse prin $\displaystyle C$ la $\displaystyle AB$.

5. Demonstrați că dreptele de ecuații $\displaystyle 2x + 3y - 5 = 0$ și $\displaystyle -4x - 6y + 1 = 0$ sunt paralele.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(-2,3)$ şi $\displaystyle C(6,5)$. Determinați ecuația înălțimii din $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f : ℝ \to ℝ$, $\displaystyle f(x) = 2x+5$ și $\displaystyle g : ℝ \to ℝ$, $\displaystyle g(x) = x-1$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u} = (a-2)\vec{i} - 2\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$ sunt coliniari.

5p 5. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ în care $\displaystyle AB=2$, $\displaystyle AC=4$ și $\displaystyle A = \frac{\pi}{2}$. Să se calculeze lungimea vectorului $\displaystyle \vec{AB} + \vec{AC}$.

5. Să se calculeze aria pătratului ABCD, știind că A(-1;3) și C(4;-2).

Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ astfel încât vectorii $\displaystyle \vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = (m-1)\vec{i} + (2m-1)\vec{j}$ să fie coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,0)$, $\displaystyle B(-2,4)$ și $\displaystyle C(6,4)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2, 1)$, $\displaystyle B(1, 3)$ și $\displaystyle C(6, 4)$. Arătați că vectorii $\displaystyle \vec{AB}$ și $\displaystyle \vec{CO}$ au aceeași direcție.