În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, trei dintre vârfurile paralelogramului $\displaystyle ABCD$ au coordonatele $\displaystyle A(-2,3), B(-1,1)$ și $\displaystyle C(4,2)$. Calculați lungimea diagonalei $\displaystyle BD$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,3)$ și $\displaystyle B(2,1)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $\displaystyle [AB]$.

Aflați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}$ și $\displaystyle \vec{v}$ au același modul, unde $\displaystyle \vec{u}=3\vec{i}-5\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=(a+1)\vec{i}-(a-3)\vec{j}$.

5p 5. Fie $\displaystyle \vec{u}=2\vec{i}-3\vec{j}$, $\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+(a-1)\vec{j}$. Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle \vec{u} \parallel \vec{v}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(4,5)$ și $\displaystyle C(8,3)$. Determinați măsura unghiului dintre vectorii $\displaystyle \vec{AB}$ și $\displaystyle \vec{AC}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, 1), B(5, 1)$ și $\displaystyle C(1, 4)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, astfel încât vectorii $\displaystyle \vec{AB}+\vec{AC}$ şi $\displaystyle \vec{AB}-\vec{AC}$ au aceeaşi lungime. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, se consideră punctele $\displaystyle A(-1,1)$, $\displaystyle B(2,2)$, $\displaystyle C(5,6)$. Să se determine ecuația medianei duse din vârful $\displaystyle A$ al triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(-1,3)$ și $\displaystyle C(-2,2)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$, pentru care patrulaterul $\displaystyle ABCD$ este paralelogram.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle x-2y+1=0$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(a,2)$ aparține dreptei $\displaystyle d$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(2,3)$ și $\displaystyle C(a,a)$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle C$ este situat pe mediatoarea segmentului $\displaystyle AB$.

În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(2,3)$, $\displaystyle C(x,y)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$, știind că $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4), B(-1,1)$ și $\displaystyle C(3,a)$, $\displaystyle a \in \mathbb{R}$. Determinați numărul $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care dreptele $\displaystyle OC$ și $\displaystyle AB$ sunt perpendiculare.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1, 5)$, $\displaystyle B(2, 1)$ și $\displaystyle C(3, 2)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

5. Fie $\displaystyle \triangle ABC$ un triunghi cu $\displaystyle AB=3$ și $\displaystyle AC=5$. Dacă $\displaystyle M$ este mijlocul laturii $\displaystyle BC$, calculați $\displaystyle \vec{AM} \cdot \vec{BC}$.

5. Se consideră punctele $\displaystyle A(-3, 1)$, $\displaystyle B(2, 0)$, $\displaystyle C(1, 4)$. Să se scrie ecuaţia medianei duse din vârful $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-6; 2)$ și $\displaystyle B(2; 4)$. Să se determine coordonatele simetricului punctului $\displaystyle B$ față de $\displaystyle A$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle D(1,2)$, $\displaystyle E(7,6)$ și $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle DE$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle OM$.

5p 2. Să se determine $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care parabola asociată funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+mx+m+3$ este tangentă la axa $\displaystyle Ox$.