5.În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,1)$ și $\displaystyle B(6,-3)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle AB$.

În sistemul cartezian xOy se consideră punctele $\displaystyle A(3, 2)$ și $\displaystyle B(1, -1)$. Să se determine coordonatele simetricului punctului A față de B.

5. În sistemul ortogonal de axe $\displaystyle xOy$ se consideră vectorii $\displaystyle \vec{a}=3\vec{i}+2\vec{j}$, $\displaystyle \vec{b}=(m+2)\vec{i}-m\vec{j}$, $\displaystyle \vec{c}=2\vec{i}-3\vec{j}$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care unghiul format de vectorii $\displaystyle \vec{a}$ și $\displaystyle \vec{b}$ este egal cu unghiul format de vectorii $\displaystyle \vec{b}$ și $\displaystyle \vec{c}$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=mx^2-x+3$. Determinați valoarea numărului real nenul $\displaystyle m$ ștind că vârful parabolei asociată graficului funcției $\displaystyle f$ se află pe dreapta de ecuație $\displaystyle x+2y-6=0$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(1,-2)$. Determinați ecuația dreptei care conține simetricul punctului $\displaystyle A$ față de origine și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle OA$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, se consideră punctele $\displaystyle A(2; -2)$ și $\displaystyle B(4; 0)$. Să se determine coordonatele simetricului punctului $\displaystyle A$ față de $\displaystyle B$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(4,1)$. Să se determine punctul $\displaystyle C$ astfel încât punctul $\displaystyle B$ să fie mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(1,2)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle x-y-3=0$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle B$, situat pe dreapta $\displaystyle d$, astfel încât $\displaystyle AB \perp d$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3, 4)$ și $\displaystyle B(7, -4)$. Arătați că $\displaystyle OA = OM$, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2, 5)$ și $\displaystyle B(4, 3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$, situat pe axa $\displaystyle Oy$, astfel încât $\displaystyle CA = CB$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 7x + 10$. Calculați distanța dintre punctele de intersecție ale graficului funcției $\displaystyle f$ cu axa $\displaystyle Ox$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1, 1)$, $\displaystyle B(2, -2)$, $\displaystyle C(4, a)$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.

Se scrie ecuația dreptei $\displaystyle d$ care trece prin punctul $\displaystyle A(-2,1)$ și este perpendiculară pe dreapta de ecuație $\displaystyle d_1: 3x - y + 1 = 0$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A, B$ și $\displaystyle C$, astfel încât $\displaystyle A(1,3), B(2,5)$ și $\displaystyle \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AB}$. Să se determine coordonatele punctului $\displaystyle C$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{v_1} = 3\vec{i} + \vec{j}$, $\displaystyle \vec{v_2} = \vec{i} - 2\vec{j}$. Să se calculeze modulul vectorului $\displaystyle \vec{v_1} - 3\vec{v_2}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle B(1,2)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle BOC$ este dreptunghic în $\displaystyle O$, știind că $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(-5;2)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=x+1$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2, 1)$, $\displaystyle B(2, 4)$ și $\displaystyle C(4, 2)$. Scrieți ecuația medianei dusă din vârful $\displaystyle A$ în triunghiul $\displaystyle ABC$.

5. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(-1, -1)$ și este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = x + 3$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1)$, $\displaystyle B(-1,4)$ și $\displaystyle C(3,7)$. Calculați perimetrul $\displaystyle \triangle ABC$.