5. Calculați $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$, știind că $\displaystyle |\vec{a}|=2$, $\displaystyle |\vec{b}|=3$ și unghiul vectorilor $\displaystyle \vec{a}$ și $\displaystyle \vec{b}$ are măsura $\displaystyle \frac{\pi}{3}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,4)$, $\displaystyle B(-3,2)$ și $\displaystyle C(5,2)$. Determinați lungimea medianei din vârful $\displaystyle A$ al triunghiului $\displaystyle ABC$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră trapezul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AB \parallel CD$ și $\displaystyle A(1, 2)$, $\displaystyle B(4, 5)$ și $\displaystyle D(-3, 2)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle MN$, ştiind că segmentul $\displaystyle MN$ este linie mijlocie a trapezului $\displaystyle ABCD$.

Se consideră paralelogramul $\displaystyle ABCD$ și punctele $\displaystyle M$ și $\displaystyle N$ astfel încât $\displaystyle \vec{AM}=\frac{1}{4}\vec{AC}$ și $\displaystyle \vec{AN}=\frac{1}{3}\vec{AB}$. Demonstrați că punctele $\displaystyle D, M$ și $\displaystyle N$ sunt coliniare.

Se consideră punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, astfel încât $\displaystyle \vec{AB} = 2\vec{i} + \vec{j}$ și $\displaystyle \vec{BC} = \vec{i} - \vec{j}$. Calculați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{AC}$.

5. Determinați ecuația dreptei ce trece prin $\displaystyle A(1,-2)$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d: x+2y-5=0$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ știind că vârful parabolei de ecuație $\displaystyle y=x^2+ax+b$ este $\displaystyle V(0,1)$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ astfel încât $\displaystyle \vec{AB}=4\vec{i}+3\vec{j}$, $\displaystyle \vec{AC}=4\vec{i}-9\vec{j}$. Determinați lungimea medianei din $\displaystyle A$.

Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care dreptele $\displaystyle d_1: y=(m^2-3)x+2$ și $\displaystyle d_2: y=x$ sunt paralele.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1)$, $\displaystyle B(5,-7)$ și $\displaystyle C(-1,-5)$. Determinați ecuația liniei mijlocii în triunghiul $\displaystyle ABC$, care este paralelă cu latura $\displaystyle BC$.

Fie dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ de ecuații $\displaystyle x-3y+1=0$ și, respectiv, $\displaystyle 3x+y+2=0$, $\displaystyle a$ un număr real și punctul $\displaystyle P(0,a)$. Determinați valorile lui $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle P$ este egal depărtat de dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$, $\displaystyle B(1,0)$ și $\displaystyle C(1,8)$. Scrieți ecuația medianei din $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,3)$, $\displaystyle B(2,-3)$ și $\displaystyle C(6,0)$. Scrieți ecuația medianei din punctul $\displaystyle C$.

Se consideră punctul $\displaystyle D$ în planul triunghiului $\displaystyle ABC$ astfel încât $\displaystyle \vec{2DB} = \vec{AB} + \vec{DC}$. Arătați că patrulaterul $\displaystyle ADBC$ este paralelogram.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,1)$, $\displaystyle B(1,3)$ și $\displaystyle C(3,2)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle OG$, știind că $\displaystyle G$ este centrul de greutate al triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,-1)$, $\displaystyle B(3,5)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la punctul $\displaystyle M$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(6,4)$ și $\displaystyle C(0,-4)$. Știind că punctul $\displaystyle D$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$, arătați că $\displaystyle BC=2 \cdot OD$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,4)$, $\displaystyle B(2,1)$ și $\displaystyle C$ simetricul lui $\displaystyle B$ față de $\displaystyle O(0,0)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2;0)$, $\displaystyle B(1;\sqrt{3})$ și $\displaystyle C(1;-\sqrt{3})$. Arătați că în triunghiul $\displaystyle ABC$, înălțimea din $\displaystyle A$ și mediana din $\displaystyle B$ se intersectează în $\displaystyle O(0;0)$.