În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4)$ şi $\displaystyle B(5,2)$. Determinaţi distanţa dintre punctele $\displaystyle A$ şi $\displaystyle B$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle OA$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(0,4)$, $\displaystyle N(2,8)$ și $\displaystyle P(4,0)$. Determinați distanța dintre mijlocul segmentului $\displaystyle MP$ și punctul $\displaystyle N$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,4)$ și $\displaystyle B(1,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ pentru care $\displaystyle \vec{2BC}=\vec{OA}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$, $\displaystyle B(1,5)$ și $\displaystyle C(6,0)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,3)$, $\displaystyle B(8,6)$ și $\displaystyle C$, mijlocul segmentului $\displaystyle OB$. Determinați distanța dintre punctele $\displaystyle A$ și $\displaystyle C$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle B(4,2)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle OB$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 2x - 3$ și numărul real $\displaystyle m$, ordonata punctului de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f$ cu axa $\displaystyle Oy$. Calculați $\displaystyle f(m)$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3, 3)$, $\displaystyle B(4, 6)$ și $\displaystyle C$, astfel încât $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle OC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,0)$ și $\displaystyle B(5,4)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle 2x+ay=0$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ aparține dreptei $\displaystyle d$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(3,0)$ și $\displaystyle C(4,7)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(1,2)$ și dreapta $\displaystyle d: 2x-3y+1=0$. Determinați ecuația dreptei care trece prin $\displaystyle A$ și este perpendiculară pe $\displaystyle d$.

Se consideră dreapta de ecuație $\displaystyle d: x - 2y + 1 = 0$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle P(-4, 1)$ și este paralelă cu $\displaystyle d$.

Se dau vectorii $\displaystyle \vec{v_1} = a\vec{i} + 2\vec{j}$ şi $\displaystyle \vec{v_2} = 8\vec{i} + a\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinaţi $\displaystyle a$ pentru care vectorii sunt coliniari.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1, 2)$ și $\displaystyle B(3, 6)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2, 1)$, $\displaystyle B(0, 3)$. Aflați lungimea medianei duse din vârful $\displaystyle O$ în triunghiul $\displaystyle AOB$.

Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care modulul vectorului $\displaystyle \vec{v} = (m-1)\vec{i} + (2m-3)\vec{j}$ are valoarea minimă.

Se calculează măsura unghiului ascuțit dintre dreptele $\displaystyle d_1: 4x+3y-2=0$ și $\displaystyle d_2: x+7y-4=0$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$ şi $\displaystyle B(4,1)$. Determinaţi coordonatele punctului $\displaystyle M$ ştiind că $\displaystyle \vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,0)$, $\displaystyle B(8,3)$ și $\displaystyle C(0,3)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

3. Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2^{x-1}-1$ cu axele $\displaystyle Ox$ și respectiv $\displaystyle Oy$.