5p În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$ și $\displaystyle B(4,0)$. Arătați că perimetrul triunghiului $\displaystyle OAB$ este egal cu 12.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(3,-2)$ și $\displaystyle C(2a,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real nenul. Arătați că dreptele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle OC$ sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,-5)$ și $\displaystyle B(5,5)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(0,2)$ și $\displaystyle N(3,6)$. Arătați că distanța dintre punctele $\displaystyle M$ și $\displaystyle N$ este egală cu $\displaystyle 5$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2), B(1,1)$ și $\displaystyle C(3,m)$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care punctul $\displaystyle C$ aparține dreptei $\displaystyle AB$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle XoY$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle B(2,-1)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle OMB$ este dreptunghic în $\displaystyle O$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$ și $\displaystyle B(4,0)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ pentru care $\displaystyle \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$, $\displaystyle B(1,m)$ și $\displaystyle C(3,6)$. Unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$, astfel încât punctul $\displaystyle C$ să fie simetricul punctului $\displaystyle A$ față de punctul $\displaystyle B$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(2,2)$ şi $\displaystyle C(4,0)$. Arătaţi că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle B$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,5)$, $\displaystyle B(4,-5)$ și $\displaystyle C(a,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că punctul $\displaystyle C$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1)$ și $\displaystyle B(3,0)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ pentru care $\displaystyle \vec{AC} = \vec{OB}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(8,4)$ și $\displaystyle C(4,0)$. Demonstrați că $\displaystyle BM=CM$, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,0)$, $\displaystyle B(4,4)$ și $\displaystyle C(5,2)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle C$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,0)$, $\displaystyle B(8,8)$ și $\displaystyle C(11,4)$. Arătați că $\displaystyle AB=2BC$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,8)$, $\displaystyle B(4,2)$ și $\displaystyle C$, mijlocul segmentului $\displaystyle OA$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle BC$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(2,1)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle \vec{AB}=2\vec{OA}$.

În reperul cartezian $\displaystyle XoY$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,0)$ și $\displaystyle B(0,4)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle AOB$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,5)$ și $\displaystyle B(4,2)$. Determinaţi distanţa dintre punctul $\displaystyle A$ şi mijlocul segmentului $\displaystyle OB$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle Oxy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1), B(M,2)$ și $\displaystyle C(5,3)$. Unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că punctul $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.