În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4)$ și $\displaystyle B(3,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctele $\displaystyle O$, $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ sunt coliniare.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-4,1)$ și $\displaystyle B(a,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că punctul $\displaystyle O$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Se consideră triunghiul isoscel $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$. Știind că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 8$, determinați lungimea laturii $\displaystyle AB$.

5. Se consideră paralelogramul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AB=4$, $\displaystyle BC=6$ și $\displaystyle \measuredangle B = 120^\circ$. Determinați modulul vectorului $\displaystyle \vec{AM}$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BD$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=12$, $\displaystyle AC=16$ și $\displaystyle BC=20$. Arătați că $\displaystyle \frac{2}{R} = \frac{5}{r}$, unde $\displaystyle R$ este raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ și $\displaystyle r$ este raza cercului înscris în triunghiul $\displaystyle ABC$.

5. Segmentele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle A'B'$ au același mijloc. Demonstrați că $\displaystyle AB'+BA'=0$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, 3)$, $\displaystyle B(3, 5)$ și $\displaystyle C(0, 6)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle d$ care trece prin punctul $\displaystyle A$ și este paralelă cu mediana din vârful $\displaystyle C$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, punctul $\displaystyle D$ mijlocul laturii $\displaystyle AC$ și punctul $\displaystyle M$ astfel încât $\displaystyle \vec{MA}+2\vec{MB}+3\vec{MC}=\vec{0}$. Arătați că dreptele $\displaystyle MD$ și $\displaystyle AB$ sunt paralele.

Determinați numărul natural $\displaystyle a$, știind că mulțimea $\displaystyle M(a, 15)$ aparține dreptei $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=3x+2a$.

5p 5. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctul $\displaystyle D$ mijlocul segmentului $\displaystyle BC$. Arătați că, pentru orice puncte $\displaystyle E$ și $\displaystyle F$ astfel încât $\displaystyle \vec{AE} = \vec{FD}$, are loc relația $\displaystyle 2(\vec{EB} + \vec{FC}) = \vec{AB} + \vec{AC}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(3,4)$ și $\displaystyle C$, astfel încât punctul $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$. Arătați că triunghiul $\displaystyle AOC$ este dreptunghic isoscel.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=3x-2$ și punctul $\displaystyle A(a,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A$ aparține dreptei $\displaystyle d$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(2,3)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=2x+1$. Determinați ecuația dreptei ce trece prin punctul $\displaystyle A$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,2)$ și $\displaystyle B(1,4)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$, astfel încât punctul $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,4)$, $\displaystyle B(5,0)$ și $\displaystyle M(a,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,2)$ și $\displaystyle B(1,-1)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ pentru care $\displaystyle \vec{AC}=2\vec{BC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,7)$ și $\displaystyle B(2,5)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,0)$ și $\displaystyle B(6,6)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle AOM$ este isoscel, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle OB$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(a,0)$ și $\displaystyle B(a,6)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle AB = 6$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,0)$, $\displaystyle B(1,6)$ și $\displaystyle C(4,2)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$, știind că $\displaystyle AB=DC$.