În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$ și $\displaystyle B(3,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle OA$ și $\displaystyle AB$ sunt perpendiculare.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-3,0)$ și $\displaystyle B(9,0)$, unde $\displaystyle A$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care distanța dintre punctele $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ este egală cu $\displaystyle 13$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(4,3)$ și $\displaystyle C(a,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$, știind că punctul $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(6,4)$ și $\displaystyle C(0,-4)$. Știind că punctul $\displaystyle D$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$, arătați că $\displaystyle BC=2OD$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-5,0)$, $\displaystyle B(1,8)$. Arătaţi că triunghiul $\displaystyle OAM$ este isoscel, ştiind că $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=2x+a$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că punctul $\displaystyle A(2,3)$ aparține dreptei $\displaystyle d$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,3)$, $\displaystyle B(-1,-4)$ și $\displaystyle C(5,4)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle AMC$ este dreptunghic, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-8,6)$ și $\displaystyle B(a,4)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle MA=MB$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle OA$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,3)$, $\displaystyle B(4,1)$, $\displaystyle C$ și $\displaystyle D$. Știind că punctele $\displaystyle C$ și $\displaystyle B$ sunt mijloacele segmentelor $\displaystyle AB$, respectiv $\displaystyle CD$, determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ mijloacele segmentelor $\displaystyle BC, BM$, respectiv $\displaystyle CM$. Arătați că $\displaystyle \vec{AM}+\vec{AN}+\vec{AP}=\frac{3}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})$.

5. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(2,0)$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=3x$.

Se consideră numărul real $\displaystyle a$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+a\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=8\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$ și $\displaystyle B(8,3)$. Punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$. Calculați distanța de la punctul $\displaystyle M$ la punctul $\displaystyle O(0,0)$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(3,4)$, $\displaystyle N(0,1)$ și $\displaystyle P(3,0)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle d$ care trece prin punctul $\displaystyle P$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle MN$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$ și $\displaystyle B(3,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A$ aparține dreptei $\displaystyle OB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B( -1,0)$, $\displaystyle C(3,5)$ și $\displaystyle D(5,6)$. Demonstrați că punctele $\displaystyle B$, $\displaystyle D$ și mijlocul segmentului $\displaystyle AC$ sunt coliniare.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-3,4)$, $\displaystyle B(0,3)$ și $\displaystyle C(0,4)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-4,0)$, $\displaystyle B(4,0)$ și $\displaystyle C(0,4)$. Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,0)$, $\displaystyle B(0,2)$ și $\displaystyle C(0,-2)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle A$ la mijlocul segmentului $\displaystyle BC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(3,0)$, $\displaystyle N(8,3)$ și $\displaystyle P(6,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle Q$, știind că $\displaystyle \vec{MN} + \vec{MP} = \vec{MQ}$.