5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(1,3)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=3x-4$. Arătați că dreapta $\displaystyle OA$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

Pe mulțimea numerelor reale, se consideră punctele $\displaystyle A(a, 0)$, $\displaystyle a>0$, $\displaystyle B(4, a)$ și $\displaystyle C(a, 1)$. Determinați $\displaystyle a$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,4)$, $\displaystyle B(-1,4)$ și $\displaystyle C(-1,-2)$. Determinați aria triunghiului $\displaystyle ABD$, știind că punctul $\displaystyle D$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră paralelogramul $\displaystyle MNPQ$ cu $\displaystyle M(2,3)$, $\displaystyle N(5,4)$ şi $\displaystyle P(4,0)$. Determinaţi ecuaţia dreptei $\displaystyle MQ$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(3,-1)$, numărul real $\displaystyle m$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=(m-1)x-2m$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care distanța de la punctul $\displaystyle A$ la dreapta $\displaystyle d$ este egală cu $\displaystyle 0$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1, -2)$, $\displaystyle B(0,3)$ și $\displaystyle C(-2,2)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle d$ care trece prin punctul $\displaystyle C$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle AB$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{a}=2\vec{i}+m\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{b}=5\vec{i}-(m^2+1)\vec{j}$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{a}$ și $\displaystyle \vec{b}$ sunt coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-6,6)$ și $\displaystyle B(0,2)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$, știind că $\displaystyle \vec{AO}=2\vec{BC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,1)$, $\displaystyle B(2,-3)$ și $\displaystyle C(3,1-a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x - 3$ cu dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = -x + 3$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u} = 2\vec{i} + m\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = (m-4)\vec{i} + 2\vec{j}$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \vec{u} \perp \vec{v}$.

În sistemul cartezian $\displaystyle x O y$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,3), B(-1,0)$ și $\displaystyle C(a, a+2)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \overrightarrow{O C}$ și $\displaystyle \overrightarrow{A B}$ sunt coliniari.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4)$, $\displaystyle B(-1,1)$ şi $\displaystyle C(3,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care dreptele $\displaystyle OC$ şi $\displaystyle AB$ sunt perpendiculare.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, se consideră punctele $\displaystyle A(4,-2)$, $\displaystyle B(2,0)$ și $\displaystyle C$ astfel încât $\displaystyle AC=BC$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle d$, care trece prin punctul $\displaystyle C$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,5)$, $\displaystyle B(4,-3)$ și $\displaystyle C(a,a+3)$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care dreapta $\displaystyle OC$ trece prin mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$, $\displaystyle B(-1,-2)$ şi $\displaystyle C(a,-2)$, unde $\displaystyle a$ este număr real nenul, $\displaystyle a \ne -1$. Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care ortocentrul triunghiului $\displaystyle ABC$ este $\displaystyle O$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$, $\displaystyle B(0,-5)$ și $\displaystyle C(4,-1)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ACB$ este dreptunghic isoscel.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(2,3)$ și $\displaystyle T(6,5)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle MT$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-6,1)$ și $\displaystyle B(2,-3)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la punctul $\displaystyle M$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(2,-2)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=-3x+a+1$.