5. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, pentru care $\displaystyle \vec{u}=3\vec{i}$, unde $\displaystyle \vec{v}=a\vec{i}+6\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, se consideră punctele $\displaystyle A(4,8)$ și $\displaystyle B(0,4)$. Știind că $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$, determinați coordonatele punctului $\displaystyle M$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,1)$ și $\displaystyle B(-1,2)$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a paralelei prin $\displaystyle A$ la $\displaystyle OB$ cu paralela prin $\displaystyle B$ la $\displaystyle OA$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,4)$, $\displaystyle B(-4,3)$ și $\displaystyle C$, astfel încât $\displaystyle AOBC$ este paralelogram. Arătați că triunghiul $\displaystyle ACB$ este dreptunghic isoscel.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$, $\displaystyle B(4,2)$ și $\displaystyle C(3,0)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(3,2)$ și $\displaystyle C(4,5)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$, știind că $\displaystyle \vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AD}$.

Se consideră punctele $\displaystyle A, B, C$ și $\displaystyle D$ astfel încât $\displaystyle \vec{2AD} = \vec{BD} + \vec{AC}$. Demonstrați că $\displaystyle \vec{AB} = \vec{DC}$.

În planul triunghiului $\displaystyle ABC$ se consideră punctul $\displaystyle M$, astfel încât $\displaystyle 2\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Determinați numărul real $\displaystyle k$, știind că $\displaystyle \vec{BC} = k \vec{CM}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,4)$ și $\displaystyle B(-1,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ astfel încât $\displaystyle \vec{AB} + 2\vec{BC} = \vec{0}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, a)$ și $\displaystyle B(-2,5)$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ aparține dreptei $\displaystyle y = 2x+3$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-4,0)$, $\displaystyle B(-1,3)$ și $\displaystyle C(1,m)$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle B$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$, de ecuații $\displaystyle 2x-y+1=0$, respectiv $\displaystyle x+y+2=0$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle d$ care este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d_2$ și trece prin punctul de intersecție a dreptelor $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(1,2)$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=x+2$.

5p În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-3,5)$ și $\displaystyle B(1,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle M$, unde $\displaystyle M$ este simetricul punctului $\displaystyle A$ față de punctul $\displaystyle B$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,1)$, $\displaystyle B(3,1)$ și $\displaystyle C(3,-3)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC.$

În reperul cartezian $\displaystyle x O y$ se consideră punctele $\displaystyle A(-8,4)$, $\displaystyle B(6,7)$ și $\displaystyle C(0,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle A O$ și $\displaystyle B C$ sunt paralele.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, -3)$, $\displaystyle B(5,1)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle x-2y+a=0$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ este situat pe dreapta $\displaystyle d$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,4)$, $\displaystyle B(0,2)$, $\displaystyle C(1,3)$ și $\displaystyle D$, astfel încât segmentele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle CD$ au același mijloc. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,a)$ și $\displaystyle B(5,5a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că lungimea segmentului $\displaystyle AB$ este egală cu 7.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,-1)$, $\displaystyle B(-5,7)$ şi $\displaystyle C(7,7)$. Calculaţi aria triunghiului $\displaystyle ABC$.