5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,4)$ şi $\displaystyle B(8,4)$. Determinaţi lungimea medianei din vârful $\displaystyle O$ al triunghiului $\displaystyle AOB$.

2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2+x+3$, cu axa $\displaystyle Oy$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,3)$ și $\displaystyle B(2,5)$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle BC$, unde punctul $\displaystyle C$ este simetricul punctului $\displaystyle B$ față de punctul $\displaystyle A$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,4)$, $\displaystyle B(4,4)$ și $\displaystyle C(4,8)$. Determinați lungimea înălțimii din $\displaystyle C$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$ și $\displaystyle B(3,0)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin $\displaystyle O(0,0)$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle AB$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, punctul $\displaystyle D$ mijlocul laturii $\displaystyle AC$ și punctul $\displaystyle E$ mijlocul segmentului $\displaystyle BD$. Arătați că $\displaystyle \vec{CE} = \frac{1}{4}\vec{CA} - \frac{1}{2}\vec{BC}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(-1,1)$, $\displaystyle C(-1,-1)$ și $\displaystyle D(1,-1)$. Calculați perimetrul patrulaterului $\displaystyle ABCD$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+4\vec{j}$ sunt coliniari.

5p. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2, 4)$ și $\displaystyle B(4, 4)$. Calculați distanța de la punctul $\displaystyle O(0, 0)$ la mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle M(-4,4)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle d$ care trece prin punctul $\displaystyle M$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle OM$.

5. Se consideră un paralelogram $\displaystyle ABCD$ şi $\displaystyle O$, punctul de intersecție a dreptelor $\displaystyle AC$ şi $\displaystyle BD$. Arătați că $\displaystyle \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.

Se consideră un punct $\displaystyle P$ în planul paralelogramului $\displaystyle ABCD$. Arătați că $\displaystyle \vec{PA}+\vec{PC}=\vec{PB}+\vec{PD}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,1)$, $\displaystyle B(4,-1)$ și $\displaystyle C(0,4)$. Determinați lungimea înălțimii din vârful $\displaystyle C$ în triunghiul $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(2,3)$ și $\displaystyle C(4,a)$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle C$ este situat pe mediatoarea segmentului $\displaystyle AB$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele necoliniare $\displaystyle A(1,3)$, $\displaystyle B(3,5)$ și $\displaystyle C(0,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(1, 1)$, $\displaystyle N(3, 3)$ și $\displaystyle P(4, 3)$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care patrulaterul $\displaystyle MNPQ$ este trapez cu bazele $\displaystyle MN$ și $\displaystyle PQ$.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=10-x$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$ și $\displaystyle B(2,7)$. Punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle AM$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(1, 0)$, $\displaystyle N(7, 0)$ și $\displaystyle A(a, 3)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Știind că $\displaystyle AM = AN$, arătați că segmentul $\displaystyle AO$ are lungimea egală cu $\displaystyle 5$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ de ecuații $\displaystyle y=3x-1$, respectiv $\displaystyle y=ax+5$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ sunt perpendiculare.