În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,3)$, $\displaystyle B(8,0)$ și $\displaystyle C(4,-3)$. Arătați că patrulaterul $\displaystyle AOCB$ este romb.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(3,4)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=2x-1$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,0)$, $\displaystyle B(8,3)$ și $\displaystyle C(0,3)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-5,5)$, $\displaystyle B(5,5)$ și $\displaystyle C$. Arătați că, dacă $\displaystyle AC = BC$, atunci $\displaystyle C$ este situat pe axa $\displaystyle Oy$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,3)$, $\displaystyle B(-2,1)$ și $\displaystyle C(-2,5)$. Determinați ecuația medianei din $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=m\vec{i}+5\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+3\vec{j}$ sunt coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(4,4)$, $\displaystyle C(1,a)$ și $\displaystyle D(2,1)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care dreptele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle CD$ sunt paralele.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,0)$, $\displaystyle B(0,1)$ și $\displaystyle C(1,0)$. Determinați coordonatele ortocentrului triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+2\vec{j}$, $\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{w}=2\vec{i}+3\vec{j}$.

5. Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+a\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+4\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}$ și $\displaystyle \vec{v}$ sunt coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(2a-1,a^2)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A$ aparține dreptei $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=x+4$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-4,0)$, $\displaystyle B(0,4)$ și $\displaystyle O(0,0)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$, știind că $\displaystyle \vec{AB} = \vec{OC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,1)$, $\displaystyle B(1,a)$ și $\displaystyle C(4,2a+1)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.

Determinați numerele reale $\displaystyle m$, $\displaystyle m \ne 2$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=4\vec{i}+m\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=(m-2)\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u} = \vec{i} + 3\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = \vec{i} - \vec{j}$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că vectorii $\displaystyle \vec{u} - a\vec{v}$ și $\displaystyle 3\vec{v}$ sunt coliniari.

5p 5. În triunghiul isoscel $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=AC$, ecuația mediatoarei laturii $\displaystyle AC$ este $\displaystyle y=3x+1$ și ecuația perpendicularei din $\displaystyle A$ pe $\displaystyle BC$ este $\displaystyle 2y=x+7$. Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$, $\displaystyle B(0,3)$ și $\displaystyle C(1,-2)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle AD$, știind că $\displaystyle ABCD$ este paralelogram.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, se consideră rombul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle A(-1,3)$ și $\displaystyle C(2,-4)$. Determinați panta dreptei $\displaystyle BD$.

5. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, punctul $\displaystyle G$ centrul său de greutate și punctele $\displaystyle M$ și $\displaystyle N$ astfel încât $\displaystyle \vec{BM}=\frac{1}{4}\vec{BA}$ și $\displaystyle \vec{CN}=\frac{2}{5}\vec{CA}$. Arătați că punctele $\displaystyle M$, $\displaystyle N$ și $\displaystyle G$ sunt coliniare.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+3\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că $\displaystyle 2\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$.