5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,4)$, $\displaystyle B(-4,3)$ și $\displaystyle C(5,0)$. Arătați că punctul $\displaystyle H(4,7)$ este ortocentrul triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. Se consideră paralelogramul $\displaystyle ABCD$ şi punctele $\displaystyle M$ şi $\displaystyle N$ astfel încât $\displaystyle \vec{AM}=\frac{2}{3}\vec{AC}$ şi $\displaystyle \vec{AN}=\frac{1}{3}\vec{AB}$. Demonstraţi că punctele $\displaystyle D, M$ şi $\displaystyle N$ sunt coliniare.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1, 2)$ și $\displaystyle B(3, -1)$. Știind că punctul $\displaystyle M$ este simetricul lui $\displaystyle A$ față de $\displaystyle B$ și punctul $\displaystyle N$ este simetricul lui $\displaystyle B$ față de $\displaystyle M$, determinați coordonatele punctului $\displaystyle N$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{a}\vec{i}-2\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,6)$, $\displaystyle B(-3,-1)$ și $\displaystyle C(-2,-2)$. Arătați că punctul $\displaystyle M(1,2)$ este centrul cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(2,-2)$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = x$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,0)$, $\displaystyle B(4,4)$ și $\displaystyle C(3,0)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,0)$, $\displaystyle B(0,4)$ și $\displaystyle C(3,4)$. Determinați lungimea medianei din vârful $\displaystyle C$ al triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle M(0,1)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = x$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,4)$, $\displaystyle B(6,4)$ și $\displaystyle C(6,7)$. Demonstrați că $\displaystyle \Delta ABC$ este isoscel.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(7,0)$, $\displaystyle B(4,4)$ și $\displaystyle C(2,0)$. Calculați distanța de la punctul $\displaystyle C$ la dreapta $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=x-4$. Determinați distanța dintre punctul de intersecție a dreptei $\displaystyle d$ cu axele $\displaystyle Ox$ respectiv $\displaystyle Oy$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,0)$, $\displaystyle B(0,4)$, $\displaystyle C(-3,0)$ și $\displaystyle D(0,-4)$. Calculați perimetrul patrulaterului $\displaystyle ABCD$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,7)$ și $\displaystyle B(3,-7)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la punctul $\displaystyle C$, unde $\displaystyle C$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(6,8)$ și $\displaystyle C(6,4)$. Arătați că patrulaterul $\displaystyle ABCO$ este paralelogram.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,0)$, $\displaystyle B(7,4)$ și $\displaystyle C(1,4)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,4)$, $\displaystyle B(5,4)$ și $\displaystyle C(5,8)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,4)$ și $\displaystyle B(-6,4)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle OM$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(5,4)$ și $\displaystyle B(5,-4)$. Determinați aria triunghiului $\displaystyle AOB$.

Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle A)=60^{\circ}$, $\displaystyle m(\angle B)=60^{\circ}$ și $\displaystyle BC=30$.